В математике , А меандр или закрытым меандр является самоизбегающим замкнутым кривым , которая пересекает линию несколько раз. Интуитивно меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку через несколько мостов.
Меандр
При фиксированной ориентированной линии L в евклидове плоскости R 2 , А меандр порядка п является не-самопересекающимся замкнутым кривым в R 2 , которая трансверсально пересекает линию в 2 п точек для некоторого положительного целого числа п . Линия и кривая вместе образуют меандрическую систему . Два меандра называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм всей плоскости, который переводит L в себя и переводит один меандр в другой.
Примеры
Меандр первого порядка дважды пересекает линию:
Меандры 2-го порядка пересекают линию четыре раза.
Меандрические числа
Количество различных меандров порядка n - это меандрическое число M n . Первые пятнадцать меандрических номеров приведены ниже (последовательность A005315 в OEIS ).
- М 1 = 1
- M 2 = 1
- M 3 = 2
- М 4 = 8
- М 5 = 42
- М 6 = 262
- M 7 = 1828 г.
- М 8 = 13820
- М 9 = 110954
- M 10 = 933458
- М 11 = 8152860
- М 12 = 73424650
- М 13 = 678390116
- М 14 = 640503 1050
- М 15 = 61606881612
Меандрические перестановки
Meandric перестановка порядка п определяется на множестве {1, 2, ..., 2 п } и определяется с помощью системы meandric следующим образом:
- Если линия ориентирована слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечается целыми числами, начиная с 1.
- Кривая ориентирована вверх на пересечении, отмеченном цифрой 1.
- Циклическая перестановка без неподвижных точек получают по ориентированному кривому через меченые точки пересечения.
На диаграмме справа меандрическая перестановка 4-го порядка определяется выражением (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической нотации, и ее не следует путать с однострочным обозначением .
Если π - меандрическая перестановка, то π 2 состоит из двух циклов , один из которых содержит все четные символы, а другой - все нечетные символы. Перестановки с этим свойством называются альтернативными перестановками , поскольку символы в исходной перестановке чередуются между нечетными и четными целыми числами. Однако не все альтернативные перестановки являются меандрическими, потому что их невозможно нарисовать без самопересечения кривой. Например, альтернативная перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) не является меандрической.
Открытый меандр
При фиксированной ориентированной линии L в евклидове плоскости R 2 , открытым меандр порядка п не является самопересекающимся ориентированным кривой в R 2 , которая трансверсально пересекает линию в п точек для некоторого положительного целого числа п . Два открытых меандра называются эквивалентными, если они гомеоморфны на плоскости.
Примеры
Открытый меандр порядка 1 пересекает линию один раз:
Открытый меандр 2-го порядка дважды пересекает линию:
Открытые меандрические числа
Количество различных открытых меандров порядка n - это открытое меандрическое число m n . Первые пятнадцать открытых меандрических номеров приведены ниже (последовательность A005316 в OEIS ).
Полумеандр
Учитывая фиксированный ориентированный луч R в евклидове плоскости R 2 , в полу-меандре порядка п не является самопересекающимся замкнутым кривым в R 2 , которая трансверсально пересекает луч в п точек для некоторого положительного целого числа п . Два меандра называются эквивалентными, если они гомеоморфны на плоскости.
Примеры
Полумеандр первого порядка пересекает луч один раз:
Полумеандр 2-го порядка дважды пересекает луч:
Полумеандрические числа
Число различных полумейдров порядка n - это полумеандрическое число M n (обычно обозначается чертой вместо подчеркивания). Первые пятнадцать полумеандрических чисел приведены ниже (последовательность A000682 в OEIS ).
Свойства меандрических чисел
Существует инъективная функция от меандрических до открытых меандрических чисел:
- M n = m 2 n −1
Каждое меандрическое число может быть ограничено полумеандрическими числами:
- M n ≤ M n ≤ M 2 n
При n > 1 меандрические числа четные :
- M n ≡ 0 (мод 2)