Медиант (математика)

В математике , то медианта из двух фракций , как правило , состоит из четырех положительных целых чисел

${\ displaystyle {\ frac {a} {c}} \ quad}$и определяется как${\ displaystyle \ quad {\ frac {b} {d}} \ quad}$${\ displaystyle \ quad {\ frac {a + b} {c + d}}.}$

То есть числитель и знаменатель медианты - это суммы числителей и знаменателей данных дробей, соответственно. Иногда ее называют суммой для первокурсников , поскольку это частая ошибка на ранних этапах обучения сложению дробей .

Технически это бинарная операция над действительными дробями (ненулевой знаменатель), рассматриваемыми как упорядоченные пары соответствующих целых чисел, априори игнорируя перспективу рациональных чисел как классов эквивалентности дробей. Например, медианта дробей 1/1 и 1/2 равна 2/3. Однако, если дробь 1/1 заменяется дробью 2/2, которая является эквивалентной дробью, обозначающей то же рациональное число 1, медиант дробей 2/2 и 1/2 будет 3/4. Для более сильной связи с рациональными числами может потребоваться сокращение дробей до наименьших членов , тем самым выбирая уникальных представителей из соответствующих классов эквивалентности.

Дерево Штерна-Броко обеспечивает перечисление всех положительных рациональных чисел через mediants в низких условиях, полученное чисто итерационным расчетом медианты согласно простому алгоритму.

Свойства [ править ]

• Медиантное неравенство: важным свойством (также объясняющим его название) медианты является то, что она лежит строго между двумя фракциями, из которых она является медиантой: если и , то${\ Displaystyle а / с <b / d}$${\ displaystyle a, b, c, d \ geq 0}$

${\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}.}$

Это свойство следует из двух соотношений

${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)}$

и

${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}$

• Предположим, что пара дробей a / c и b / d удовлетворяет определению соотношения . Тогда медиант обладает тем свойством, что это простейшая дробь в интервале ( a / c , b / d ) в том смысле, что это дробь с наименьшим знаменателем. Точнее, если дробь с положительным знаменателем c 'лежит (строго) между a / c и b / d , то ее числитель и знаменатель можно записать как и с двумя положительными${\displaystyle bc-ad=1}$${\displaystyle a'/c'}$${\displaystyle \,a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$${\displaystyle \,c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$реальные (фактически рациональные) числа . Чтобы понять, почему это должно быть положительно, отметьте, что${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$

и

${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$

должен быть положительным. Детерминантное отношение

${\displaystyle bc-ad=1\,}$

то означает, что оба должны быть целыми числами, решая систему линейных уравнений${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$

${\displaystyle \,a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$

${\displaystyle \,c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$

для . Следовательно${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$${\displaystyle c'\geq c+d.}$

• Верно и обратное: предположим, что пара сокращенных дробей a / c  <  b / d обладает тем свойством, что приведенная дробь с наименьшим знаменателем, лежащим в интервале ( a / c ,  b / d ), равна медианте дроби две фракции. Тогда выполняется детерминантное соотношение bc  -  ad = 1. Этот факт можно вывести, например, с помощью теоремы Пика, которая выражает площадь плоского треугольника, вершины которого имеют целочисленные координаты, через _{внутреннее} число v.точек решетки (строго) внутри треугольника и число об _{границе} целых точек на границе треугольника. Рассмотрим треугольник с тремя вершинами v ₁ = (0, 0), v ₂ = ( a ,  c ), v ₃ = ( b ,  d ). Его площадь равна${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$

${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\ .}$

Точку внутри треугольника можно параметризовать как${\displaystyle p=(p_{1},p_{2})}$

${\displaystyle p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,}$

куда

${\displaystyle \lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.\,}$

Формула Пика

${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )=v_{\mathrm {interior} }+{v_{\mathrm {boundary} } \over 2}-1}$

теперь следует, что внутри треугольника должна быть точка решетки q  = ( q ₁ ,  q ₂ ), отличная от трех вершин, если bc  -  ad  > 1 (тогда площадь треугольника равна ). Соответствующая дробь q ₁ / q ₂ лежит (строго) между заданными (по предположению приведенными) дробями и имеет знаменатель${\displaystyle \geq 1}$

${\displaystyle q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d}$

в качестве

${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.\,}$

• Соответственно, если p / q и r / s - приведенные дроби на единичном интервале такие, что | ps  -  rq | = 1 (так что они являются смежными элементами строки последовательности Фарея ), то

${\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?{\bigg (}{\frac {p}{q}}{\bigg )}+{}?{\bigg (}{\frac {r}{s}}{\bigg )}\right)}$

куда ? - функция вопросительного знака Минковского .

Фактически, медианты обычно встречаются при изучении непрерывных дробей и, в частности, дробей Фарея . П - я последовательность Фарей F _п определяются как (упорядочено по величине) последовательность восстановленных фракций / б (с копервичным в , б ) таким образом, что б  ≤  п . Если две дроби a / c  <  b / d являются смежными (соседними) дробями в отрезке F _n, то определенное соотношение ${\displaystyle bc-ad=1}$Упомянутое выше, как правило, справедливо, и поэтому медиант - это простейшая дробь в интервале ( a / c ,  b / d ) в том смысле, что это дробь с наименьшим знаменателем. Таким образом, медиант затем (сначала) появится в ( c  +  d ) -й последовательности Фарея и будет «следующей» дробью, которая вставляется в любую последовательность Фарея между a / c и b / d . Это дает правило, как последовательности Фарея F _n последовательно строятся с увеличением n .

Графическое определение медиантов [ править ]

Определение медианты двух рациональных чисел графическим способом. На склонах этих синих и красных сегментов две рациональные числа; наклон зеленого сегмента - их середина.

Положительное рациональное число - это единица в форме где положительные натуральные числа ; то есть . Таким образом, множество положительных рациональных чисел является декартовым произведением самого по себе; то есть . Точка с координатами представляет собой рациональное число , а наклон отрезка, соединяющего начало координат с этой точкой, равен . Поскольку не требуется, чтобы они были взаимно простыми , точка представляет одно и только одно рациональное число, но рациональное число представлено более чем одной точкой; например , все представления рационального числа${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}}$${\displaystyle (b,a)}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle (4,2),(60,30),(48,24)}$${\displaystyle 1/2}$. Это небольшая модификация формального определения рациональных чисел, ограничение их положительными значениями и изменение порядка элементов в упорядоченной паре так, чтобы наклон сегмента стал равным рациональному числу.${\displaystyle (b,a)}$

Две точки, где - два представления (возможно эквивалентных) рациональных чисел и . Сегменты линии, соединяющие начало координат с параллелограммом и образующие две смежные стороны. Вершиной параллелограмма, противоположной началу координат, является точка , являющаяся медианой и .${\displaystyle (b,a)\neq (d,c)}$${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$${\displaystyle (b,a)}$${\displaystyle (d,c)}$${\displaystyle (b+d,a+c)}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

Площадь параллелограмма равна , что также является величиной векторного произведения векторов и . Из формального определения эквивалентности рациональных чисел следует, что площадь равна нулю, если и эквивалентны. В этом случае один отрезок совпадает с другим, так как их уклоны равны. Площадь параллелограмма, образованного двумя последовательными рациональными числами в дереве Штерна-Броко, всегда равна 1. ^[1]${\displaystyle bc-ad}$${\displaystyle \langle b,a\rangle }$${\displaystyle \langle d,c\rangle }$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

Обобщение [ править ]

Понятие медианты можно обобщить на n дробей, и выполняется обобщенное неравенство медиант ^[2], факт, который, кажется, впервые заметил Коши. Точнее, взвешенная медианта из п фракций определяются (с ). Можно показать, что находится где-то между наименьшей и наибольшей долей среди .${\displaystyle m_{w}}$${\displaystyle a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}}$${\displaystyle {\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}}$${\displaystyle w_{i}>0}$${\displaystyle m_{w}}$${\displaystyle a_{i}/b_{i}}$

См. Также [ править ]

• Медиант
• Последовательность Фари
• Штерн-Броко дерево

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Mediant Fractions в разорванном узле
• MATHPAGES, Кевин Браун: обобщенный медиант