В математике и физике , А квантовый граф является линейной, сетевой-образной структурой вершин , соединенных по краям (т.е. график ) , в котором каждое ребре дается длиной и где дифференциальный (или псевдо-дифференциальный) уравнение ставятся на каждом край. Примером может быть электрическая сеть, состоящая из линий электропередач (ребер), соединенных на трансформаторных подстанциях (вершины); тогда дифференциальные уравнения будут описывать напряжение вдоль каждой из линий, с граничными условиями для каждого ребра, предусмотренными в смежных вершинах, гарантирующих, что ток, добавленный по всем ребрам, прибавляется к нулю в каждой вершине.
Квантовые графы были впервые изучены Линусом Полингом как модели свободных электронов в органических молекулах в 1930-х годах. Они также возникают в различных математических контекстах [1], например, как модельные системы в квантовом хаосе , при изучении волноводов , в фотонных кристаллах и при локализации Андерсона , или как ограничение на сжатие тонких проводов. Квантовые графы стали известными моделями в мезоскопической физике, используемыми для получения теоретического понимания нанотехнологий . Другое, более простое понятие квантовых графов было введено Фридманом и др. [2]
Помимо фактического решения дифференциальных уравнений, представленных на квантовом графе для конкретных приложений, типичные вопросы, которые возникают, - это вопросы управляемости (какие входные данные необходимо предоставить, чтобы привести систему в желаемое состояние, например, обеспечить достаточную мощность для всех домов. в электросети) и идентифицируемость (как и где нужно что-то измерить, чтобы получить полную картину состояния системы, например, измерение давления в водопроводной сети, чтобы определить, есть ли утечка в трубе).
Метрические графики
Метрический граф представляет собой график , состоящий из множества вершин и множество ребер, где каждое ребро был связан с интервалом чтобы - координата на отрезке, вершина соответствует а также к или наоборот. Выбор вершины, лежащей в нуле, произвольный, альтернатива соответствует смене координаты на ребре. График имеет естественную метрику: для двух точек на графике, - кратчайшее расстояние между ними, где расстояние измеряется по краям графа.
Открытые графы: в комбинаторной модели графа ребра всегда соединяют пары вершин, однако в квантовом графе можно также рассматривать полубесконечные ребра. Это ребра, связанные с интервалом прикреплен к одной вершине в . Граф с одним или несколькими такими открытыми ребрами называется открытым графом.
Квантовые графы
Квантовые графы - это метрические графы, снабженные дифференциальным (или псевдодифференциальным) оператором, действующим на функции на графе. Функция на метрическом графе определяется как -набор функций на интервалах. Гильбертово пространство графика является где внутреннее произведение двух функций равно
может быть бесконечным в случае открытого ребра. Простейшим примером оператора на метрическом графе является оператор Лапласа . Оператор на ребре где - координата на ребре. Чтобы оператор стал самосопряженным, необходимо указать подходящий домен. Обычно это достигается за счет взятия пространства Соболева. функций на ребрах графа и задание условий согласования в вершинах.
Тривиальным примером условий согласования, делающих оператор самосопряженным, являются граничные условия Дирихле :для каждого края. Собственную функцию на конечном ребре можно записать как
для целого числа . Если граф замкнут без бесконечных ребер и длины ребер графа рационально независимы, то собственная функция поддерживается на единственном ребре графа, а собственные значения равны. Условия Дирихле не допускают взаимодействия между интервалами, поэтому спектр такой же, как и у набора несвязанных ребер.
Более интересными условиями самосопряженного согласования, допускающими взаимодействие между ребрами, являются условия Неймана или естественные условия согласования. Функция в области определения оператора непрерывна всюду на графе, а сумма исходящих производных в вершине равна нулю,
где если вершина Я сидел а также если Я сидел .
Изучены также свойства других операторов на метрических графах.
- К ним относятся более общий класс операторов Шредингера,
где представляет собой «магнитный векторный потенциал» на краю и - скалярный потенциал.
- Другой пример - оператор Дирака на графе, который представляет собой матричнозначный оператор, действующий на вектор-функции, которые описывают квантовую механику частиц с внутренним угловым моментом, равными половине, таких как электрон .
- Оператор Дирихле-Неймана на графе - это псевдодифференциальный оператор, возникающий при изучении фотонных кристаллов .
Теоремы
Все условия самосопряженного согласования оператора Лапласа на графе можно классифицировать по схеме Кострыкина и Шредера. На практике часто удобнее использовать формализм, введенный Кучментом, см. [3], который автоматически дает оператор в вариационной форме.
Позволять быть вершиной с края, исходящие от него. Для простоты выберем координаты на ребрах так, чтобы лежит на для каждой встречи края в . Для функции на графике пусть
Условия совпадения в можно задать парой матриц а также через линейное уравнение,
Условия согласования определяют самосопряженный оператор, если имеет максимальный ранг а также
Спектр оператора Лапласа на конечном графе может быть удобно описан с использованием подхода матрицы рассеяния, введенного Коттосом и Смиланским. [4] [5] Проблема собственных значений на ребре:
Таким образом, решение на краю можно записать как линейную комбинацию плоских волн .
где в нестационарном уравнении Шредингера - коэффициент уходящей плоской волны при а также коэффициент приходящей плоской волны при . Условия согласования при определить матрицу рассеяния
Матрица рассеяния связывает векторы коэффициентов входящей и исходящей плоских волн при , . Для условий самосопряженного согласованияунитарен. Элемент из - сложная амплитуда перехода от направленного края к краю что в целом зависит от . Однако для большого класса условий согласования S-матрица не зависит от. Например, с условиями согласования Неймана
Подставляя в уравнение для производит -независимые амплитуды переходов
где - дельта-функция Кронекера, которая равна единице, если и ноль в противном случае. По амплитудам переходов мы можем определить матрица
называется матрицей рассеяния связи и может рассматриваться как оператор квантовой эволюции на графике. Он унитарен и действует на вектор плоские волновые коэффициенты для графика, где - коэффициент плоской волны, бегущей из к . Фаза - фаза, приобретаемая плоской волной при распространении от вершины к вершине .
Условие квантования: собственная функция на графике может быть определена через связанные с нейплоско-волновые коэффициенты. Поскольку собственная функция является стационарной при квантовой эволюции, условие квантования графа может быть записано с использованием оператора эволюции.
Собственные значения происходят при значениях где матрица имеет собственное значение. Мы будем заказывать спектр с.
Первая формула следа для графа была получена Ротом (1983). В 1997 году Коттос и Смилански использовали указанное выше условие квантования, чтобы получить следующую формулу следа для оператора Лапласа на графике, когда амплитуды переходов не зависят от. Формула следа связывает спектр с периодическими орбитами на графике.
называется плотностью состояний. Правая часть формулы следа состоит из двух членов: члена Вейля - среднее расстояние между собственными значениями, а колеблющаяся часть представляет собой сумму по всем периодическим орбитам. на графике. длина орбиты и - общая длина графа. Для орбиты, созданной повторением более короткой примитивной орбиты, подсчитывает количество переделов. - произведение амплитуд переходов в вершинах графа вокруг орбиты.
Приложения
Квантовые графы были впервые использованы в 1930-х годах для моделирования спектра свободных электронов в органических молекулах, таких как нафталин , см. Рисунок. В первом приближении атомы считаются вершинами, а σ-электроны образуют связи, которые фиксируют каркас в форме молекулы, на котором удерживаются свободные электроны.
Аналогичная проблема возникает при рассмотрении квантовых волноводов. Это мезоскопические системы - системы, построенные с шириной в нанометрах. Квантовый волновод можно рассматривать как расширенный граф, края которого представляют собой тонкие трубки. Спектр оператора Лапласа в этой области сходится к спектру оператора Лапласа на графе при определенных условиях. Понимание мезоскопических систем играет важную роль в области нанотехнологий .
В 1997 году [6] Коттос и Смилански предложили квантовые графы в качестве модели для изучения квантового хаоса , квантовой механики систем, которые являются классически хаотическими. Классическое движение на графе можно определить как вероятностную цепь Маркова, в которой вероятность разлета от края к краю дается модулем квадрата амплитуды квантового перехода, . Почти для всех конечных связных квантовых графов вероятностная динамика является эргодической и перемешивающей, другими словами, хаотической.
Квантовые графы в двух или трех измерениях появляются при изучении фотонных кристаллов . [7] В двух измерениях простая модель фотонного кристалла состоит из многоугольных ячеек из плотного диэлектрика с узкими границами раздела между ячейками, заполненными воздухом. Изучение диэлектрических мод, которые остаются в основном в диэлектрике, приводит к появлению псевдодифференциального оператора на графике, который следует за узкими границами раздела.
Периодические квантовые графы, подобные решетке в являются общими моделями периодических систем, и квантовые графы были применены для изучения феномена локализации Андерсона, когда локализованные состояния возникают на краю спектральных полос в присутствии беспорядка.
Смотрите также
- Лестница Шильда , роман о вымышленной квантовой теории графов
- Диаграмма Фейнмана
Рекомендации
- ^ Берколайко, Григорий; Карлсон, Роберт; Кучмент, Петр; Фуллинг, Стивен (2006). Квантовые графы и их приложения (современная математика): Труды совместной летней исследовательской конференции AMS-IMS-SIAM по квантовым графам и их приложениям . 415 . Американское математическое общество. ISBN 978-0821837658.
- ^ Фридман, Майкл; Ловас, Ласло; Шрайвер, Александр (2007). «Положительность отражения, связность рангов и гомоморфизм графов». Журнал Американского математического общества . 20 (01): 37–52. arXiv : math / 0404468 . DOI : 10.1090 / S0894-0347-06-00529-7 . ISSN 0894-0347 . Руководство по ремонту 2257396 .
- ^ Кучмент, Питер (2004). «Квантовые графы: I. Некоторые основные структуры». Волны в случайных средах . 14 (1): S107 – S128. DOI : 10.1088 / 0959-7174 / 14/1/014 . ISSN 0959-7174 .
- ^ Коттос, Цампикос; Смиланский, Узы (1999). "Периодическая теория орбит и спектральная статистика для квантовых графов". Летопись физики . 274 (1): 76–124. DOI : 10,1006 / aphy.1999.5904 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Gnutzmann, Sven; Смиланский, Узы (2006). «Квантовые графы: приложения к квантовому хаосу и универсальной спектральной статистике». Успехи физики . 55 (5–6): 527–625. arXiv : nlin / 0605028 . DOI : 10.1080 / 00018730600908042 . ISSN 0001-8732 .
- ^ Коттос, Цампикос; Смиланский, Узы (1997). «Квантовый хаос на графах». Письма с физическим обзором . 79 (24): 4794–4797. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.79.4794 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Кучмент, Петр; Кунянский, Леонид (2002). «Дифференциальные операторы на графах и фотонных кристаллах». Успехи в вычислительной математике . 16 (24): 263–290. DOI : 10,1023 / A: 1014481629504 .