Оператор Дирака

В математике и квантовая механике , А оператор Дирака является дифференциальным оператором , который является формальным корнем квадратным, или наполовину итерация , оператор второго порядка , такие как лапласиан . Первоначальный случай, который касался Поля Дирака, заключался в том, чтобы формально факторизовать оператор для пространства Минковского , чтобы получить форму квантовой теории, совместимую со специальной теорией относительности ; чтобы получить соответствующий лапласиан как произведение операторов первого порядка, он ввел спиноры .

Формальное определение [ править ]

В общем, пусть D дифференциальный оператор первого порядка , действующая на векторном расслоении V над риманова многообразия М . Если

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

где ∆ - лапласиан оператора V , то D называется оператором Дирака .

В физике высоких энергий это требование часто ослабляется: только часть второго порядка D ² должна равняться лапласиану.

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

D = - i ∂ _x - оператор Дирака на касательном расслоении над прямой.

Пример 2 [ править ]

Рассмотрим простую связку, имеющую важное значение для физики: конфигурационное пространство частицы со спином 1/2ограничен плоскостью, которая также является базовым многообразием. Он представлен волновой функцией ψ : R ² → C ²

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

где х и у являются обычными функциями координат на R ² . χ определяет амплитуду вероятности того, что частица находится в состоянии со спином вверх, и аналогично для η . Тогда так называемый спин-оператор Дирака можно записать

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

где σ _i - матрицы Паули . Заметим, что антикоммутационные соотношения для матриц Паули делают доказательство указанного выше определяющего свойства тривиальным. Эти отношения определяют понятие алгебры Клиффорда .

Решения уравнения Дирака для спинорных полей часто называют гармоническими спинорами . ^[1]

Пример 3 [ править ]

Оператор Дирака Фейнмана описывает распространение свободного фермиона в трех измерениях и элегантно записывается

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

используя обозначение слэша Фейнмана . Во вводных учебниках по квантовой теории поля это будет отображаться в виде

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }$

где есть недиагональные матрицы Дирака , причем и остальные константы скорость света , будучи постоянной Планка и масса фермиона (например, электрона ). Он действует на четырехкомпонентную волновую функцию , пространство Соболева гладких, интегрируемых с квадратом функций. Его можно расширить до самосопряженного оператора в этой области. Квадрат в данном случае не является лапласианом, а вместо него (после настройки )${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$${\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}$${\displaystyle \hbar =c=1.}$

Пример 4 [ править ]

Другой оператор Дирака возникает в анализе Клиффорда . В евклидовом n -пространстве это

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

где { e _j : j = 1, ..., n } - ортонормированный базис для евклидова n -пространства, а R ⁿ считается вложенным в алгебру Клиффорда .

Это частный случай действия оператора Атьи – Зингера – Дирака на сечениях спинорного расслоения .

Пример 5 [ править ]

Для спинового многообразия , М , оператор Атия-Зингер-Дирак локально определяются следующим образом : Для й ∈ M и е ₁ ( х ), ..., е _J ( х ) локальный ортонормированного базиса касательного пространства М в точке x оператор Атьи – Зингера – Дирака равен

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}$

где есть связь спины , поднятие связности Леви-Чивито на М к спинорному расслоению над M . Квадрат в этом случае не является лапласианом, а вместо этого где - скалярная кривизна связи. ^[2]${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$${\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}$${\displaystyle R}$

Обобщения [ править ]

В анализе Клиффорда оператор D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S ), действующий на спинорно-значные функции, определенные формулой

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

иногда называют оператором Дирака в k переменных Клиффорда. В обозначениях, S есть пространство спиноров, являются п - мерные переменные и оператор Дирака в я -й переменной. Это общее обобщение оператора Дирака ( k = 1 ) и оператора Дольбо ( n = 2 , k произвольно). Это инвариантный дифференциальный оператор , инвариантный относительно действия группы SL ( k ) × Spin ( n ) . Разрешение от D${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$ известно только в некоторых частных случаях.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1
• Colombo, F., I .; Сабадини, И. (2004), Анализ систем Дирака и вычислительная алгебра , Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5