Обозначение слэша Фейнмана

При изучении полого Дирака в квантовой теории поля , Ричард Фейнман изобрел удобное фейнмановский слэш обозначение (менее широко известное как Дирак косой черты обозначение ^[1] ). Если A - ковариантный вектор (т. Е. 1-форма ),

${\ Displaystyle {А \! \! \! /} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ gamma ^ {\ mu} A _ {\ mu}}$

с использованием обозначений суммирования Эйнштейна, где γ - гамма-матрицы .

Личности [ править ]

Используя антикоммутаторы гамма - матриц, можно показать , что для любого и ,${\displaystyle a_{\mu }}$${\displaystyle b_{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}&\equiv a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^{2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}&\equiv 2a\cdot b\cdot I_{4}\,\end{aligned}}}$.

где - единичная матрица в четырех измерениях.${\displaystyle I_{4}}$

Особенно,

${\displaystyle {\partial \!\!\!/}^{2}\equiv \partial ^{2}\cdot I_{4}.}$

Дальнейшие тождества можно считывать непосредственно из гаммы - матричных тождеств , заменив метрический тензор с внутренними продуктами . Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&\equiv 4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv 4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }\,}$это символ Леви-Чивиты .

С четырьмя импульсами [ править ]

Часто, используя уравнение Дирака и решая для сечений, можно найти обозначение с косой чертой, используемое для четырехимпульса : используя базис Дирака для гамма-матриц,

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

а также определение четырехимпульса,

${\displaystyle p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)\,}$

мы явно видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-\sigma \cdot {\vec {p}}\\\sigma \cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Аналогичные результаты справедливы и в других базисах, таких как базис Вейля .

См. Также [ править ]

• Основа Вейля
• Гамма-матрицы

Ссылки [ править ]