Параметризация Фейнмана - это метод оценки петлевых интегралов, которые возникают из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими петлями. Однако иногда это полезно и для интеграции в области чистой математики .
Ричард Фейнман заметил, что:
который действителен для любых комплексных чисел A и B, пока 0 не содержится в отрезке линии, соединяющем A и B. Формула помогает вычислять такие интегралы, как:
Если A (p) и B (p) являются линейными функциями p , то последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки.
В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака : [1]
Эта формула верна для любых комплексных чисел A 1 , ..., A n до тех пор, пока 0 не содержится в их выпуклой оболочке .
Даже в более общем плане при условии, что для всех :
где использовалась гамма-функция . [2]
Теперь просто преобразуйте интеграл линейно, используя замену
- что приводит к такому
и получаем желаемый результат:
В более общих случаях выводы могут быть выполнены очень эффективно с использованием параметризации Швингера . Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана , мы сначала повторно выражаем все множители в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:
и переписать,
Затем производим следующую замену переменных интегрирования:
чтобы получить,
где обозначает интегрирование по области с .
Следующим шагом является выполнение интеграции.
где мы определили
Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,
и, введя дополнительный интеграл, мы приходим к окончательной форме параметризации Фейнмана, а именно,
Аналогичным образом, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана для наиболее общего случая, можно было бы начать с подходящей другой формы параметризации Швингера факторов в знаменателе, а именно,
а затем действуйте точно так же, как в предыдущем случае.
Альтернативная форма [ править ]
Альтернативная форма параметризации, которая иногда бывает полезной, - это
Эта форма может быть получена с помощью замены переменных . Мы можем использовать правило продукта, чтобы показать это , тогда
В более общем плане у нас есть
где - гамма-функция .
Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя с квадратичным знаменателем , например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).
Симметричная форма [ править ]
Иногда используется симметричная форма параметризации, когда интеграл вместо этого выполняется по интервалу , что приводит к:
|
|
- « Внизу много места » (1959)
- Лекции Фейнмана по физике (1964)
- Характер физического закона (1965)
- QED: Странная теория света и материи (1985)
- Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! (1985)
- Какая вам разница, что думают другие люди? (1988)
- Утраченная лекция Фейнмана: Движение планет вокруг Солнца (1997)
- Значение всего этого (1999)
- Удовольствие узнавать вещи (1999)
- Совершенно разумные отклонения от проторенной дорожки (2005)
|
- Джоан Фейнман (сестра)
- Чарльз Хиршберг (племянник)
|
- Тезки
- Наука о грузовом культе
- Квантовый человек: жизнь Ричарда Фейнмана в науке
- Тува или бюст!
- Премия Фейнмана в области нанотехнологий
- Бесконечность (фильм 1996 года)
- QED (спектакль 2001 г.)
- Катастрофа Челленджера (фильм, 2013)
|