Кинетика Михаэлиса – Ментен

Кривая насыщения Михаэлиса-Ментен для ферментативной реакции, показывающая связь между концентрацией субстрата и скоростью реакции.

В биохимии , Михаэлис-Ментна кинетика является одним из наиболее известных моделей кинетики ферментативной . ^[1] Он назван в честь немецкого биохимика Леонор Михаэлис и канадского врача Мод Ментен . ^[2] Эта модель принимает вид уравнения , описывающего скорость ферментативных реакций , связывая скорость реакции (скорость образования продукта , ) , чтобы , в концентрации от более подложки S . Его формула дается${\ displaystyle v}$${\ displaystyle [{\ ce {P}}]}$${\ displaystyle [{\ ce {S}}]}$ 

${\ displaystyle v = {\ frac {\ mathrm {d} [{\ ce {P}}]} {\ mathrm {d} t}} = V _ {\ max} {\ frac {[{\ ce {S}} }]} {K _ {\ mathrm {M}} + [{\ ce {S}}]}}}$

Это уравнение называется уравнением Михаэлиса – Ментен . Здесь представляет собой максимальную скорость, достигаемую системой при насыщающей концентрации субстрата. Значение константы Михаэлиса численно равно концентрации субстрата, при которой скорость реакции составляет половину . ^[3] Часто предполагается, что биохимические реакции с участием одного субстрата следуют кинетике Михаэлиса-Ментен, без учета допущений, лежащих в основе модели.${\ Displaystyle V _ {\ max}}$${\ Displaystyle К _ {\ mathrm {M}}}$${\ Displaystyle V _ {\ max}}$

Модель [ править ]

Изменение со временем концентраций фермента E, субстрата S, комплекса ES и продукта P

В 1901 году французский физико-химик Виктор Анри обнаружил, что ферментативные реакции инициируются связью (в более общем смысле, связывающим взаимодействием) между ферментом и субстратом. ^[4] Его работа была рассмотрена немецким биохимик Михаэлис и канадский врач Моды Ментена , которые исследовались кинетику ферментативного механизма реакции, инвертазы , который катализирует гидролиз из сахарозы в глюкозу и фруктозу . ^[5] В 1913 году они предложили математическую модель реакции. ^[6] В нем участвует фермент., E, связывание с субстратом S с образованием комплекса ES, который, в свою очередь, высвобождает продукт P, регенерирующий исходный фермент. Схематично это можно представить как

${\ displaystyle {\ ce {E {} + S <=> [{\ mathit {k_ {f}}}] [{\ mathit {k_ {r}}}] ES -> [k _ {\ ce {cat} }] E {} + P}}}$

где (константа прямой скорости), (константа обратной скорости) и (каталитическая константа скорости) обозначают константы скорости , ^[7] двойные стрелки между S (субстрат) и ES (комплекс фермент-субстрат) представляют тот факт, что фермент-субстрат связывание - это обратимый процесс, и единственная стрелка вперед представляет образование P (продукта).${\ displaystyle k_ {f}}$${\ displaystyle k_ {r}}$${\ Displaystyle к _ {\ mathrm {кошка}}}$

При определенных допущениях,  например, когда концентрация фермента намного меньше концентрации субстрата, скорость образования продукта определяется выражением

${\ displaystyle v = {\ frac {\ mathrm {d} [{\ ce {P}}]} {\ mathrm {d} t}} = V _ {\ max} {\ frac {[{\ ce {S}} }]} {K _ {\ mathrm {M}} + [{\ ce {S}}]}} = k _ {\ mathrm {cat}} [{\ ce {E}}] _ {0} {\ frac { [{\ ce {S}}]} {K _ {\ mathrm {M}} + [{\ ce {S}}]}}.}$

Порядок реакции зависит от относительного размера двух членов в знаменателе. При низкой концентрации субстрата , так что скорость реакции изменяется линейно с концентрацией субстрата ( кинетика первого порядка ). ^[8] Однако при более высоких значениях с реакция становится независимой от (кинетика нулевого порядка) ^[8] и асимптотически приближается к своей максимальной скорости , где - начальная концентрация фермента. Эта скорость достигается, когда весь фермент связан с субстратом. , номер оборота${\displaystyle [{\ce {S}}]\ll K_{M}}$ ${\displaystyle v=k_{\mathrm {cat} }[{\ce {E}}]_{0}{\frac {[{\ce {S}}]}{K_{\mathrm {M} }}}}$${\displaystyle {\ce {[S]}}}$${\displaystyle {\ce {[S]}}}$${\displaystyle [{\ce {S}}]\gg K_{M}}$${\displaystyle {\ce {[S]}}}$${\displaystyle V_{\max }=k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}]_{0}}$${\displaystyle {\ce {[E]_0}}}$${\displaystyle k_{\mathrm {cat} }}$, - максимальное количество молекул субстрата, преобразованных в продукт, на молекулу фермента в секунду. Дальнейшее добавление субстрата не увеличивает скорость насыщения.

Значение константы Михаэлиса численно равно той, при которой скорость реакции находится на полувысоте, ^[3] и является мерой сродства субстрата к ферменту - как и в случае ^{[ требуется пояснение ]} , маленький значок указывает на высокое сродство, это означает, что скорость будет приближаться с более низкой, чем те реакции с большей . ^[9] Константа не зависит от концентрации или чистоты фермента. ^[10] Значение зависит как от идентичности фермента, так и от субстрата, а также от таких условий, как температура и pH. ^[11]${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle {\ce {[S]}}}$${\displaystyle K_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle V_{\max }}$${\displaystyle {\ce {[S]}}}$${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$

Модель используется в различных биохимических ситуациях, отличных от взаимодействия фермент-субстрат, включая связывание антиген-антитело , гибридизацию ДНК-ДНК и взаимодействие белок-белок . ^{[9] [12]} Его можно использовать для характеристики общей биохимической реакции, точно так же, как уравнение Ленгмюра можно использовать для моделирования общей адсорбции биомолекулярных видов. ^[12] Когда эмпирическое уравнение этой формы применяется к росту микробов, его иногда называют уравнением Моно .

Приложения [ править ]

Значения параметров сильно различаются между ферментами: ^[13]

Фермент	${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$ (М)	${\displaystyle k_{\text{cat}}}$(с −1 )	${\displaystyle k_{\text{cat}}/K_{\mathrm {M} }}$(M −1 с −1 )
Химотрипсин	1,5 × 10 −2	0,14	9,3
Пепсин	3,0 × 10 −4	0,50	1,7 × 10 3
Т-РНК синтетаза	9,0 × 10 −4	7,6	8,4 × 10 3
Рибонуклеаза	7,9 × 10 −3	7,9 × 10 2	1,0 × 10 5
Карбоангидраза	2,6 × 10 −2	4,0 × 10 5	1,5 × 10 7
Фумараза	5,0 × 10 −6	8,0 × 10 2	1,6 × 10 8

Константа ( каталитическая эффективность ) - это мера того, насколько эффективно фермент превращает субстрат в продукт. Ферменты с ограниченной диффузией , такие как фумараза , работают с теоретическим верхним пределом 10 ⁸  - 10 ¹⁰ М ^-1 с ^-1 , ограниченным диффузией субстрата в активный центр . ^[14]${\displaystyle k_{\text{cat}}/K_{\mathrm {M} }}$

Михаэлис-Ментна кинетика также была применена к различным сферам вне биохимических реакций, ^[7] , включая альвеолярный клиренс пыли, ^[15] насыщенность видов бассейнов, ^[16] клиренс алкоголя в крови , ^[17] в photosynthesis- связь освещенности и бактериальная фаговая инфекция. ^[18]

Уравнение также можно использовать для описания взаимосвязи между проводимостью ионного канала и концентрацией лиганда . ^[19]

Вывод [ править ]

Применение закона действия масс , который гласит, что скорость реакции пропорциональна произведению концентраций реагентов (т. Е. ), Дает систему четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые определяют скорость изменения реагентов с время ^[20]${\displaystyle [E][S]}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} [{\ce {E}}]}{\mathrm {d} t}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{\mathrm {cat} }[{\ce {ES}}]\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} [{\ce {S}}]}{\mathrm {d} t}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} [{\ce {ES}}]}{\mathrm {d} t}}&=k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]-k_{r}[{\ce {ES}}]-k_{\mathrm {cat} }[{\ce {ES}}]\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} [{\ce {P}}]}{\mathrm {d} t}}&=k_{\mathrm {cat} }[{\ce {ES}}].\end{aligned}}}$

В этом механизме фермент E является катализатором , который только облегчает реакцию, так что его общая концентрация, свободная плюс объединенная, является постоянной (т . Е. ). Этот закон сохранения можно также соблюдать, сложив первое и третье уравнения выше. ^{[20] [21]}${\displaystyle [E]+[ES]=[E]_{0}}$${\displaystyle [E]_{0}=[E]_{total}}$

Равновесное приближение [ править ]

В своем первоначальном анализе Михаэлис и Ментен предположили, что субстрат находится в мгновенном химическом равновесии с комплексом, что подразумевает ^{[6] [21]}

${\displaystyle k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]=k_{r}[{\ce {ES}}].}$

Из закона сохранения фермента получаем ^[21]

${\displaystyle [{\ce {E}}]=[{\ce {E}}]_{0}-[{\ce {ES}}].}$

Объединение двух приведенных выше выражений дает нам

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{f}([{\ce {E}}]_{0}-[{\ce {ES}}])[{\ce {S}}]&=k_{r}[{\ce {ES}}]\\[4pt]k_{f}[{\ce {E}}]_{0}[{\ce {S}}]-k_{f}[{\ce {ES}}][{\ce {S}}]&=k_{r}[{\ce {ES}}]\\[4pt]k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{f}[{\ce {ES}}][{\ce {S}}]&=k_{f}[{\ce {E}}]_{0}[{\ce {S}}]\\[4pt][{\ce {ES}}](k_{r}+k_{f}[{\ce {S}}])&=k_{f}[{\ce {E}}]_{0}[{\ce {S}}]\\[4pt][{\ce {ES}}]&={\frac {k_{f}[{\ce {E}}]_{0}[{\ce {S}}]}{k_{r}+k_{f}[{\ce {S}}]}}\\[4pt][{\ce {ES}}]&={\frac {k_{f}[{\ce {E}}]_{0}[{\ce {S}}]}{k_{f}({\frac {k_{r}}{k_{f}}}+[{\ce {S}}])}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

После упрощения получаем

${\displaystyle [{\ce {ES}}]={\frac {[{\ce {E}}]_{0}[S]}{K_{d}+[{\ce {S}}]}}}$

где - константа диссоциации комплекса фермент-субстрат. Следовательно, скорость реакции - скорость, с которой образуется P - равна ^[21]${\displaystyle K_{d}=k_{r}/k_{f}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} [{\ce {P}}]}{\mathrm {d} t}}=V_{\max }{\frac {[{\ce {S}}]}{K_{d}+[{\ce {S}}]}}}$

где - максимальная скорость реакции.${\displaystyle V_{\max }=k_{\mathrm {cat} }[{\ce {E}}]_{0}}$

Квазистационарное приближение [ править ]

Альтернативный анализ системы был предпринят британским ботаником Дж. Б. Бриггсом и британским генетиком Дж. Б. С. Холдейном в 1925 году. ^{[22] [23]} Они предположили, что концентрация промежуточного комплекса не изменяется в масштабе времени образования продукта, известном как квази- стационарного предположения или псевдо-стационарная гипотеза. Математически это предположение означает . Математически это то же самое, что и предыдущее уравнение, с замененным на . Следовательно, следуя тем же шагам, что и выше, скорость реакции равна ^{[21] [23]}${\displaystyle k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]=k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{\mathrm {cat} }[{\ce {ES}}]=(k_{r}+k_{\mathrm {cat} })[{\ce {ES}}]}$${\displaystyle k_{r}}$${\displaystyle k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=V_{\max }{\frac {[{\ce {S}}]}{K_{\mathrm {M} }+[{\ce {S}}]}}}$

куда

${\displaystyle K_{\mathrm {M} }={\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}}$

известна как константа Михаэлиса.

Допущения и ограничения [ править ]

На первом этапе вывода применяется закон действия масс , который основан на свободной диффузии . Однако в среде живой клетки, где наблюдается высокая концентрация белков , цитоплазма часто ведет себя больше как вязкий гель, чем как свободно текущая жидкость, ограничивая молекулярные движения путем диффузии и изменяя скорость реакции. ^[24] Хотя закон действия масс может быть справедливым в гетерогенных средах, ^[25] более уместно моделировать цитоплазму как фрактал , чтобы уловить ее кинетику ограниченной подвижности. ^[26]

Результирующие скорости реакции, предсказанные двумя подходами, аналогичны, с той лишь разницей, что приближение равновесия определяет константу как , тогда как приближение квазистационарного состояния использует . Однако каждый подход основан на разных предположениях. Анализ равновесия Михаэлиса-Ментен действителен, если субстрат достигает равновесия в гораздо более быстром масштабе времени, чем образуется продукт, или, точнее, это ^[21]${\displaystyle K_{d}}$${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$

${\displaystyle \varepsilon _{d}={\frac {k_{\mathrm {cat} }}{k_{r}}}\ll 1.}$

Напротив, квазистационарный анализ Бриггса – Холдейна действителен, если ^{[20] [27]}

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\frac {\ce {[E]_{0}}}{[{\ce {S}}]_{0}+K_{\ce {M}}}}\ll 1.}$

Таким образом, это справедливо, если концентрация фермента намного меньше, чем концентрация субстрата, или и то, и другое.${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$

Как в анализах Михаэлиса – Ментен, так и Бриггса – Холдейна, качество приближения улучшается по мере уменьшения. Однако при построении моделей кинетика Михаэлиса-Ментен часто используется без учета исходных допущений. ^[21]${\displaystyle \varepsilon \,\!}$

Также важно помнить, что, хотя необратимость является необходимым упрощением для получения поддающегося аналитическому решению, в общем случае образование продукта на самом деле не является необратимым. Ферментативную реакцию правильнее описать как

${\displaystyle {\ce {E{}+S<=>[{\mathit {k_{f_{1}}}}][{\mathit {k_{r_{1}}}}]ES<=>[{\mathit {k_{f_{2}}}}][{\mathit {k_{r_{2}}}}]E{}+P.}}}$

В общем, предположение о необратимости является правильным в ситуациях, когда верно одно из следующих:

1. Концентрация субстрата (ов) намного больше, чем концентрация продуктов:

${\displaystyle {\ce {[S]\gg [P].}}}$

Это верно в стандартных условиях анализа in vitro и верно для многих биологических реакций in vivo , особенно когда продукт постоянно удаляется последующей реакцией.

2. Энергия, выделяемая в реакции, очень велика, т. Е.

${\displaystyle \Delta {G}\ll 0.}$

В ситуациях, когда ни одно из этих двух условий не выполняется (то есть реакция имеет низкую энергию и существует значительный пул продукта (ов)), уравнение Михаэлиса-Ментен нарушается, и более сложные подходы к моделированию явно принимают прямую и обратную реакции необходимо принять во внимание, чтобы понять биологию ферментов.

Определение констант [ править ]

Типичный способ определения констант и включает запуск серии анализов ферментов при различных концентрациях субстрата и измерения начальной скорости реакции . «Начальная» здесь означает, что скорость реакции измеряется после относительно короткого периода времени, в течение которого предполагается, что комплекс фермент-субстрат образовался, но что концентрация субстрата остается приблизительно постоянной, и поэтому равновесие или квази -стационарное приближение остаются в силе. ^[27] Построив график зависимости скорости реакции от концентрации и используя нелинейную регрессию уравнения Михаэлиса-Ментен, можно получить параметры. ^[28]${\displaystyle V_{\max }}$${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$${\displaystyle [S]}$${\displaystyle v_{0}}$

До того, как стали доступны вычислительные средства для выполнения нелинейной регрессии, использовались графические методы, включающие линеаризацию уравнения. Был предложен ряд из них, включая диаграмму Иди – Хофсти , график Хейнса – Вульфа и график Лайнуивера – Берка ; из них график Ханеса – Вульфа является наиболее точным. ^[28] Однако, будучи полезными для визуализации, все три метода искажают структуру ошибок данных и уступают нелинейной регрессии. ^[29] Предполагая, что аналогичная ошибка включена , обратное представление приводит к ошибке включения ( распространение неопределенности ). Без должной оценки${\displaystyle dv_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle dv_{0}/v_{0}^{2}}$${\displaystyle 1/v_{0}}$${\displaystyle dv_{0}}$значений следует избегать линеаризации. Кроме того, регрессионный анализ с использованием метода наименьших квадратов предполагает, что ошибки имеют нормальное распределение, что недопустимо после преобразования значений. Тем не менее, их использование все еще можно найти в современной литературе. ^[30]${\displaystyle v_{0}}$

В 1997 году Сантьяго Шнелл и Клаудио Мендоса предложили решение в закрытой форме для анализа кинетики времени Михаэлиса-Ментен, основанное на решении W-функции Ламберта . ^[31] А именно,

${\displaystyle {\frac {[{\ce {S}}]}{K_{\mathrm {M} }}}=W(F(t))\,}$

где W - функция Ламберта W и

${\displaystyle F(t)={\frac {[{\ce {S}}]_{0}}{K_{\mathrm {M} }}}\exp \!\left({\frac {[{\ce {S}}]_{0}}{K_{\mathrm {M} }}}-{\frac {V_{\max }}{K_{\mathrm {M} }}}\,t\right)\,.}$

Вышеприведенное уравнение использовалось для оценки и на основе данных динамики. ^{[32] [33]}${\displaystyle V_{\max }}$${\displaystyle K_{\mathrm {M} }}$

Роль развязывания субстрата [ править ]

Уравнение Михаэлиса-Ментен использовалось для прогнозирования скорости образования продукта в ферментативных реакциях более века. В частности, в нем говорится, что скорость ферментативной реакции будет увеличиваться с увеличением концентрации субстрата, и что повышенное несвязывание комплексов фермент-субстрат будет снижать скорость реакции. В то время как первое предсказание хорошо известно, второе более неуловимо. Математический анализ влияния связывания фермента с субстратом на ферментативные реакции на уровне одной молекулы показал, что связывание фермента с субстратом может снизить скорость образования продукта при некоторых условиях, но также может иметь противоположный эффект. По мере увеличения концентрации субстрата может быть достигнут переломный момент, когда увеличение скорости отсоединения приводит к увеличению, а не к снижению,скорости реакции. Результаты показывают, что ферментативные реакции могут вести себя таким образом, который нарушает классическое уравнение Михаэлиса-Ментен, и что роль разрыва связывания в ферментативном катализе еще предстоит определить экспериментально.^[34]

См. Также [ править ]

• Диаграмма Иди – Хофсти
• Кинетика ферментов
• Функциональный ответ
• Функция Гомперца
• Уравнение Хилла (биохимия)
• Вклад Хилла в уравнение Ленгмюра
• Модель адсорбции Ленгмюра (уравнение с той же математической формой)
• Заговор Лайнуивера – Берка
• Уравнение Моно (уравнение с той же математической формой)
• Кинетический анализ хода реакции
• Устойчивое состояние (химия)
• Виктор Генри , который первым написал общую форму уравнения в 1901 году.
• Функция фон Берталанфи

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Биохимия / Катализ в Викиучебнике