В математике , то Морзе-Пал лемма является результатом в вариационном исчислении и теории гильбертовых пространств . Грубо говоря, он утверждает, что достаточно гладкая функция вблизи критической точки может быть выражена в виде квадратичной формы после подходящей замены координат.
Лемма Морса – Пале была первоначально доказана в конечномерном случае американским математиком Марстоном Морсом с использованием процесса ортогонализации Грама – Шмидта . Этот результат играет решающую роль в теории Морса . Обобщение на гильбертовы пространства принадлежит Ричарду Пале и Стивену Смейлу .
Утверждение леммы
Пусть ( Н , <,>) является реальным гильбертово пространство, и пусть U быть открытая окрестность 0 в H . Пусть f : U → R - ( k + 2) -кратно непрерывно дифференцируемая функция с k ≥ 1, т. Е. F ∈ C k +2 ( U ; R ). Предположим , что п (0) = 0 и что 0 является невырожденной критической точкой из F , то есть второй производной D 2 F (0) задает изоморфизм из Н с непрерывным сопряженного пространства H * с помощью
Тогда существует подобласть V точки 0 в U , диффеоморфизм φ : V → V , являющийся C k с обратным C k , и обратимый симметрический оператор A : H → H , такие, что
для всех Купить ∈ V .
Следствие
Пусть f : U → R - это C k +2 такое, что 0 - невырожденная критическая точка. Тогда существует C K -with- C K -inverse диффеоморфизм ф : V → V и ортогональное разложение
так что, если кто-то пишет
тогда
для всех Купить ∈ V .
Рекомендации
- Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Рединг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison - Wesley Publishing Co., Inc.