Формула Мотта – Бете

Формула Мотта-Бете является приближением используется для расчета атомных рассеяния электронов форм - факторов , от атомных рассеяния рентгеновских лучей форм - факторов, . ^{[1] [2] [3]} Формула была независимо получена Гансом Бете и Невиллом Моттом в 1930 г. ^{[4] [5]} и просто следует из применения первого борновского приближения для рассеяния электронов через кулоновское взаимодействие вместе с уравнение Пуассона для плотности заряда атома ( в том числе как ядра и электронного облака) в области Фурье.${\ displaystyle f_ {e} (q, Z)}$${\ displaystyle f_ {x} (q, Z)}$^{[4] [5]} Следуя первому борновскому приближению ,

${\ displaystyle f_ {e} (q, Z) = {\ frac {me ^ {2}} {32 \ pi ^ {3} \ hbar ^ {2} \ epsilon _ {0}}} {\ Bigg (} {\ frac {Z-f_ {x} (q, Z)} {q ^ {2}}} {\ Bigg)} = {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2} a_ {0}}} {\ Bigg (} {\ frac {Z-f_ {x} (q, Z)} {q ^ {2}}} {\ Bigg)} \ приблизительно (0,2393 {\ textrm {nm}} ^ {- 1} ) \ cdot {\ Bigg (} {\ frac {Z-f_ {x} (q, Z)} {q ^ {2}}} {\ Bigg)}}$

Здесь есть величина вектора рассеяния импульса перенос сечения в обратном пространстве (в единицах обратного расстояния), атомный номер атома, является постоянной Планка , является вакуумной диэлектрической проницаемостью и покой электрона масса , является Бор Радиус и безразмерный рентгеновское рассеяние формы фактор для электронной плотности.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle f_ {x} (q, Z)}$

Коэффициент рассеяния электронов имеет единицы длины, что типично для коэффициента рассеяния, в отличие от форм-фактора рентгеновского излучения, который обычно выражается в безразмерных единицах. Чтобы выполнить однозначное сравнение форм-факторов электрона и рентгеновского излучения в одних и тех же единицах измерения, форм-фактор рентгеновского излучения следует умножить на квадратный корень из сечения Томсона , где - классический радиус электрона , чтобы преобразовать обратно в единицу длины.${\ displaystyle f_ {e} (q, Z)}$ ${\ displaystyle f_ {x} (q, Z)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ sigma _ {T}}} = r_ {e}}$${\ displaystyle r_ {e}}$

Формула Мотта – Бете была первоначально выведена для свободных атомов и строго верна при условии, что форм-фактор рассеяния рентгеновских лучей известен точно. Однако в твердых телах точность формулы Мотта-Бете лучше всего подходит для больших значений ( Å ^-1 ), потому что распределение плотности заряда на меньших (т.е. на больших расстояниях) может отклоняться от атомного распределения электронов из-за химических связей. между атомами в твердом теле. ^[2] Для меньших значений , может быть определены из табличных значений, такие как те , в Международных таблицах по кристаллографии с использованием (не) релятивистский Hartee Фок расчетов, ^{[1] [6]}${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q> 0,5}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle f_ {e} (q, Z)}$или другие численные параметризации рассчитанного распределения заряда атомов. ^[2]

Ссылки [ править ]