Музыкальный изоморфизм

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Музыкальный изоморфизм»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике -более конкретно, в дифференциальной геометрии -The музыкального изоморфизм (или каноническом изоморфизме ) является изоморфизмом между касательным расслоением и кокасательным расслоением в виде псевдориманова многообразия , индуцированного его метрический тензором . Подобные изоморфизмы есть на симплектических многообразиях . Термин музыкальный относится к использованию символов (бемоль) и (диез). ^{[1] [2]} Точное происхождение этого обозначения неизвестно, но термин музыкальность${\ displaystyle \ mathrm {T} M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M}$${\ displaystyle \ flat}$${\ displaystyle \ sharp}$в этом контексте был бы обязан Марселю Бергеру . ^[3]

В ковариантной и контравариантной записи это также известно как повышающие и понижающие индексы .

Обсуждение [ править ]

Пусть ( M , g ) - псевдориманово многообразие . Пусть { е _я } является перемещением касательной рамы (смотрите также гладкий кадр ) для касательного расслоения Т М с, а двойной рамой (смотрите также двойную основу ), в двигающемся корепер (а перемещение касательной кадры для кокасательного расслоения См. Также корепер ) { e ⁱ } . Тогда локально мы можем выразить${\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M}$псевдориманова метрика (которая является 2- ковариантным тензорным полем , симметричным и невырожденным ) как g = g _ij e ⁱ ⊗ e ^j (где мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании ).

Для векторного поля X = X ⁱ e _i мы определяем его плоскость как

${\ displaystyle X ^ {\ flat}: = g_ {ij} X ^ {i} \, \ mathbf {e} ^ {j} = X_ {j} \, \ mathbf {e} ^ {j}.}$

Это называется « понижением индекса ». Используя традиционные обозначения ромбовидной скобки для внутреннего произведения, определяемого g , мы получаем несколько более прозрачное соотношение

${\ Displaystyle X ^ {\ flat} (Y) = \ langle X, Y \ rangle}$

для любых векторных полей X и Y .

Точно так же для ковекторного поля ω = ω _i e ⁱ мы определяем его резкость как

${\displaystyle \omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

где г ^IJ являются компонентами этого обратного метрического тензора (задаются записями из обратной матрицы к г _IJ ). Резкость ковекторного поля называется « повышением индекса ». В обозначении внутреннего продукта это читается как

${\displaystyle {\bigl \langle }\omega ^{\sharp },Y{\bigr \rangle }=\omega (Y),}$

для любого ковекторного поля со и любого векторного поля Y .

Благодаря этой конструкции мы получаем два взаимно обратных изоморфизма

${\displaystyle \flat :{\rm {T}}M\to {\rm {T}}^{*}M,\qquad \sharp :{\rm {T}}^{*}M\to {\rm {T}}M.}$

Это изоморфизмы векторных расслоений, и, следовательно, для каждого p из M мы имеем взаимно обратные изоморфизмы векторного пространства между T _p M и T^∗
_pM .

Расширение на тензорные произведения [ править ]

Музыкальные изоморфизмы также могут быть распространены на расслоения

${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.}$

Указывается, какой индекс повышать или понижать. Например, рассмотрим (0, 2) -тензорное поле X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j . Поднимая второй индекс, получаем (1, 1) -тензорное поле

${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$

Расширение k -векторов и k- форм [ править ]

В контексте внешней алгебры , расширение музыкальных операторов могут быть определены на ⋀ V и его сопряженное ⋀^*
 V , которые с незначительным злоупотреблением обозначениями могут быть обозначены одинаково, и снова являются взаимными инверсиями: ^[4]

${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,}$

определяется

${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$

В этом расширении, в котором ♭ сопоставляет р -векторы к р -covectors и ♯ сопоставляет р -covectors к р -векторам, все показатели в полностью антисимметричный тензоре одновременно поднимаются или опускаются, и поэтому индекс не должен быть указан:

${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$

След тензора через метрический тензор [ править ]

Для тензорного поля типа (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j определим след X через метрический тензор g следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.}$

Обратите внимание, что определение следа не зависит от выбора индекса для повышения, поскольку метрический тензор симметричен.

См. Также [ править ]

• Двойственность (математика)
• Повышение и понижение показателей
• Двойственное пространство § Билинейные произведения и двойственные пространства
• Ходж Дуал
• Векторный набор
• Флэт (музыка) и Шарп (музыка) о знаках ♭ и ♯

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ли, JM (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. 218 . ISBN 0-387-95448-1.
• Ли, JM (1997). Римановы многообразия - введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. 176 . Нью-Йорк · Берлин · Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Ваз, Джейме; да Роша, Рольдао (2016). Введение в алгебры Клиффорда и спиноры . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-878-292-6.