В математике , механика Намбы является обобщением гамильтоновой механики с участием нескольких гамильтониан. Напомним, что гамильтонова механика основана на потоках, порожденных гладким гамильтонианом над симплектическим многообразием . Потоки являются симплектоморфизмами и, следовательно, подчиняются теореме Лиувилля . Вскоре это было обобщено на потоки, порожденные гамильтонианом над пуассоновым многообразием . В 1973 году Йохиро Намбу предложил обобщение, включающее многообразия Намбу-Пуассона с более чем одним гамильтонианом. [1]
Кронштейн Намбу
В частности, рассмотрим дифференциальное многообразие M для некоторого целого N ≥ 2 ; имеется гладкое N -линейное отображение из N копий C ∞ ( M ) в себя, такое, что оно полностью антисимметрично: скобка Намбу ,
который действует как вывод
откуда тождества Филиппова (FI), [2] (напоминающие тождества Якоби , но, в отличие от них, не антисимметричны во всех аргументах, для N ≥ 2 ):
так что { f 1 , ..., f N −1 , •} действует как обобщенное дифференцирование над N -кратным произведением {. , ...,.} .
Гамильтонианы и поток
Существует N - 1 гамильтонианов H 1 , ..., H N −1 , порождающих поток несжимаемой жидкости ,
Обобщенная фазовая скорость не имеет расходимости, что позволяет использовать теорему Лиувилля . Случай N = 2 сводится к пуассоновому многообразию и традиционной гамильтоновой механике.
Для больших даже N , то N -1 Гамильтонианы определить с максимальным числом независимых инвариантов движения (ср сохраняющаяся величина ) , характеризующих Суперинтегрируемые системы , который выделяется в N - мерное фазовом пространстве . Такие системы также описываются традиционной гамильтоновой динамикой ; но их описание в рамках механики Намбу значительно более элегантно и интуитивно понятно, поскольку все инварианты обладают тем же геометрическим статусом, что и гамильтониан: траектория в фазовом пространстве является пересечением N - 1 гиперповерхностей, заданных этими инвариантами. Таким образом, поток перпендикулярен всем N - 1 градиентам этих гамильтонианов, следовательно, параллелен обобщенному поперечному произведению, заданному соответствующей скобкой Намбу.
Механика Намбу может быть расширена до гидродинамики, где результирующие скобки Намбу неканоничны, а гамильтонианы отождествляются с Казимиром системы, таким как энстрофия или спиральность [3] [4]
Квантование динамики Намбу приводит к интересным структурам [5], которые совпадают с обычными квантованными структурами, когда задействованы суперинтегрируемые системы - как они и должны.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Кертрайт, Т .; Захос, К. (2003). «Классическая и квантовая механика Намбу». Физический обзор . D68 (8): 085001. arXiv : hep-th / 0212267 . Bibcode : 2003PhRvD..68h5001C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.68.085001 . S2CID 17388447 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Филиппов, В. Т. (1986). "n-алгебры Ли". Сиб. Математика. Журнал . 26 (6): 879–891. DOI : 10.1007 / BF00969110 . S2CID 125051596 .
- Намбу, Ю. (1973). «Обобщенная гамильтонова динамика». Физический обзор . D7 (8): 2405–2412. Полномочный код : 1973PhRvD ... 7.2405N . DOI : 10.1103 / PhysRevD.7.2405 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Невир, П .; Блендер, Р. (1993). «Представление намбу гидродинамики несжимаемой жидкости с использованием спиральности и энстрофии». J. Phys. . 26 (22): 1189–1193. Bibcode : 1993JPhA ... 26L1189N . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 26/22/010 .
- Blender, R .; Бадин, Г. (2015). «Гидродинамическая механика Намбу, полученная с помощью геометрических ограничений». J. Phys. . 48 (10): 105501. arXiv : 1510.04832 . Bibcode : 2015JPhA ... 48j5501B . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/10/105501 . S2CID 119661148 .
- Blender, R .; Бадин, Г. (2017). «Построение гамильтоновой формы и формы Намбу для уравнений мелкой воды». Жидкости . 2 (2): 24. arXiv : 1606.03355 . DOI : 10.3390 / fluids2020024 . S2CID 36189352 .