Суперинтегрируемая гамильтонова система

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система - это гамильтонова система на -мерном симплектическом многообразии, для которой выполняются следующие условия:${\ displaystyle 2n}$

(i) Существуют независимые интегралы движения. Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие над связным открытым подмножеством .${\ displaystyle k> n}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ Displaystyle F: Z \ к N = F (Z)}$${\ Displaystyle N \ подмножество \ mathbb {R} ^ {k}}$

(ii) Существуют гладкие вещественные функции на таких, что скобка Пуассона интегралов движения имеет вид . ${\ displaystyle s_ {ij}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ {F_ {i}, F_ {j} \} = s_ {ij} \ circ F}$

(III) Функциональная матрица имеет постоянную корангу на .${\ displaystyle s_ {ij}}$${\ displaystyle m = 2n-k}$${\ displaystyle N}$

Если это случай полностью интегрируемой гамильтоновой системы . Теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем обобщает теорему Лиувилля-Арнольда о координатах действие-угол вполне интегрируемой гамильтоновой системы следующим образом.${\ Displaystyle к = п}$

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связно компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие является расслоением на торы . Там существует открытая окрестность из которого является тривиальным расслоением при условии , с расслоением (обобщенное действие-угол) координат , , таким образом, что координаты на . Эти координаты являются координатами Дарбу на симплектическом многообразии . Гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действия, которые являются функциями Казимира коиндуцированной структуры Пуассона на .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle T ^ {m}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (I_ {A}, p_ {i}, q ^ {i}, \ phi ^ {A})}$${\ Displaystyle А = 1, \ ldots, м}$${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, нм}$${\displaystyle (\phi ^{A})}$${\displaystyle T^{m}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle F(U)}$

Теорема Лиувилля – Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко – Фоменко для суперинтегрируемых систем обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальному цилиндру .${\displaystyle T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}}$

См. Также [ править ]

• Интегрируемая система
• Координаты действие-угол
• Механика намбу
• Вектор Лапласа – Рунге – Ленца.

Ссылки [ править ]

• Мищенко А., Фоменко А. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. Анальный. Прил. 12 (1978) 113. DOI : 10.1007 / BF01076254
• Болсинов А., Йованович Б. Некоммутативная интегрируемость, отображение моментов и геодезические потоки // Ann. Глобальный анал. Геом. 23 (2003) 305; arXiv : math-ph / 0109031 .
• Фассо Ф. Суперинтегрируемые гамильтоновы системы: геометрия и возмущения // Acta Appl. Математика. 87 (2005) 93. DOI : 10.1007 / s10440-005-1139-8
• Фиорани Э., Сарданашвили Г. Глобальные координаты действие-угол для вполне интегрируемых систем с некомпактными инвариантными многообразиями // J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv : математика / 0610790 .
• Миллер У., мл., Пост, С., Винтерниц П., Классическая и квантовая суперинтегрируемость с приложениями, J. Phys. А 46 (2013), нет. 42, 423001, DOI : 10,1088 / 1751-8113 / 46/42/423001 Arxiv : 1309,2694
• Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , Геометрические методы в классической и квантовой механике (World Scientific, Сингапур, 2010) ISBN  978-981-4313-72-8 ; arXiv : 1303,5363 .