Самолет Мура

В математике , то Мур самолет , также иногда называют Немыцкое плоскости (или Немыцкой плоскость , касательная диска топологии Немыцкой ), является топологическим пространством . Это полностью регулярное хаусдорфово пространство (также называемое тихоновским пространством ), которое не является нормальным . Он назван в честь Роберта Ли Мура и Виктора Владимировича Немыцкого .

Определение [ править ]

Если - (замкнутая) верхняя полуплоскость , то топология может быть определена , взяв локальный базис следующим образом:${\ displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\geq 0\}}$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)}$

• Элементы локального базиса в точках с - это открытые диски на плоскости, достаточно малые, чтобы лежать внутри них .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y>0}$${\displaystyle \Gamma }$
• Элементы локального базиса в точках - это множества, где A - открытый диск в верхней полуплоскости, касающийся оси x в точке p .${\displaystyle p=(x,0)}$${\displaystyle \{p\}\cup A}$

То есть локальная основа задается формулой

${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)={\begin{cases}\{U_{\epsilon }(p,q):=\{(x,y):(x-p)^{2}+(y-q)^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(x-p)^{2}+(y-\epsilon )^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q=0.\end{cases}}}$

Таким образом, топология подпространства, унаследованная от, такая же, как топология подпространства, унаследованная от стандартной топологии евклидовой плоскости.${\displaystyle \Gamma \backslash \{(x,0)|x\in \mathbb {R} \}}$

Графическое представление плоскости Мура

Свойства [ править ]

• Плоскость Мур является разъемной , то есть, он имеет счетное плотное подмножество.${\displaystyle \Gamma }$
• Плоскость Мура является полностью регулярным хаусдорфовым пространством (т.е. тихоновским пространством ), что не является нормальным .
• Подпространство в имеет, так как его подпространство топологии , в дискретной топологии . Таким образом, плоскость Мура показывает, что подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть сепарабельным.${\displaystyle \{(x,0)\in \Gamma |x\in R\}}$${\displaystyle \Gamma }$
• Самолет Мура является первым счетным , но не вторым счетным или Линделёфским .
• Самолет Мура не является локально компактным .
• Самолет Мура является метакомпактным, но не метакомпактным .

Доказательство того, что самолет Мура не нормальный [ править ]

Тот факт, что это пространство M не является нормальным, может быть установлен следующим счетным аргументом (который очень похож на аргумент, что плоскость Соргенфри ненормальна):

1. С одной стороны, счетное множество точек с рациональными координатами плотно в M ; следовательно, каждая непрерывная функция определяется своим ограничением на , поэтому на M может быть не более многих непрерывных действительнозначных функций .${\displaystyle S:=\{(p,q)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :q>0\}}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|S|}=2^{\aleph _{0}}}$
2. С другой стороны, реальная прямая - это замкнутое дискретное подпространство M с множеством точек. Итак, существует множество непрерывных функций от L до . Не все эти функции могут быть расширены до непрерывных функций на М .${\displaystyle L:=\{(p,0):p\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}>2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Следовательно, M не является нормальным, потому что по теореме о продолжении Титце все непрерывные функции, определенные на замкнутом подпространстве нормального пространства, могут быть расширены до непрерывной функции на всем пространстве.

Фактически, если X - сепарабельное топологическое пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, X не может быть нормальным.

См. Также [ править ]

• Пространство Мура (значения)
• Ежик космос

Ссылки [ править ]

• Стивен Уиллард. Общая топология , (1970) Addison-Wesley ISBN  0-201-08707-3 .
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446 CS1 maint: discouraged parameter (link) (Пример 82)
• "Самолет Ниемицкого" . PlanetMath .