В логике , то формальные языки используются для создания выражения состоит из символов , которые могут быть широко разделены на постоянные и переменные . Константы языка могут быть разделены на логические символы и нелогические символы (иногда также называемые логическими и нелогическими константами ).
Нелогические символы языка логики первого порядка состоят из предикатов и индивидуальных констант. К ним относятся символы, которые в интерпретации могут обозначать отдельные константы, переменные , функции или предикаты . Язык логики первого порядка - это формальный язык над алфавитом, состоящий из его нелогических символов и его логических символов . К последним относятся логические связки , квантификаторы и переменные, обозначающие утверждения .
Нелогический символ имеет значение или семантическое содержание только тогда, когда ему присваивается интерпретация . Следовательно, предложение, содержащее нелогический символ, не имеет смысла, кроме как при интерпретации, поэтому предложение считается истинным или ложным при интерпретации . Эти концепции определены и обсуждаются в статье о логике первого порядка и, в частности, в разделе о синтаксисе .
В логические константы , напротив, имеют тот же смысл во всех интерпретациях. Они включают символы для функциональных связок истинности (таких как «и», «или», «не», «подразумевает» и логической эквивалентности ) и символы для кванторов «для всех» и «существует».
Символ равенства иногда рассматривается как нелогический символ, а иногда - как символ логики. Если он рассматривается как логический символ, тогда потребуется любая интерпретация, чтобы интерпретировать знак равенства с использованием истинного равенства; если он интерпретируется как нелогический символ, он может интерпретироваться произвольным отношением эквивалентности .
Подписи [ править ]
Подпись представляет собой набор нелогических констант вместе с дополнительной информацией идентификации каждого символа либо как символ константы или функцией символ определенной арности п (натуральное число), или символ отношения конкретной арности. Дополнительная информация определяет, как нелогические символы могут использоваться для формирования терминов и формул. Например, если f - двоичный функциональный символ, а c - постоянный символ, тогда f ( x , c ) - терм, но c ( x , f) не термин. Символы отношения нельзя использовать в терминах, но их можно использовать для объединения одного или нескольких (в зависимости от арности) терминов в атомарную формулу.
Например, подпись может состоять из двоичного функционального символа +, постоянного символа 0 и двоичного символа отношения <.
Модели [ править ]
Структуры над подписью, также известные как модели , обеспечивают формальную семантику подписи и язык первого порядка над ней.
Структура подписи состоит из множества D , известного как область дискурса , вместе с интерпретациями нелогических символов: каждый постоянный символ интерпретируется элементом D , а интерпретация n- мерного функционального символа является п - позиционная функция на D , т.е. функции D п → D из п -кратного декартово произведения домена до самого домена. Каждый символ n -арного отношения интерпретируется n -арным отношением в области, то есть подмножеством D n .
Примером структуры над подписью, упомянутой выше, является упорядоченная группа целых чисел . Его доменом является набор = {…, –2, –1, 0, 1, 2,…} целых чисел. Символ двоичной функции + интерпретируется сложением, постоянный символ 0 - аддитивной идентичностью, а символ двоичного отношения <- отношением меньше чем.
Неформальная семантика [ править ]
Вне математического контекста часто более уместно работать с более неформальными интерпретациями.
Описательные знаки [ править ]
Рудольф Карнап ввел терминологию, различающую логические и нелогические символы (которые он назвал описательными знаками ) формальной системы при определенном типе интерпретации , определяемой тем, что они описывают в мире.
Описательный знак определяется как любой символ формального языка, который обозначает вещи или процессы в мире, или свойства или отношения вещей. Это контрастирует с логическими знаками, которые ничего не обозначают в мире предметов. Использование логических знаков определяется логическими правилами языка, тогда как значение произвольно присваивается описательным знакам, когда они применяются к данной области индивидов. [1]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Карнап, Рудольф (1958). Введение в символическую логику и ее приложения . Нью-Йорк: Дувр.
- Заметки
- Хинман, П. (2005), Основы математической логики , А.К. Петерс , ISBN 978-1-56881-262-5
Внешние ссылки [ править ]
- Раздел семантики в классической логике (статья в Стэнфордской энциклопедии философии )
