Неупорядоченность

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В формальной логике , nonfirstorderizability является невозможность выражения , чтобы быть адекватно отражены в конкретных теорий в логике первого порядка . Неупорядочиваемые предложения иногда представляются как свидетельство того, что логика первого порядка неадекватна для улавливания нюансов значения естественного языка.

Этот термин был введен Джорджем Булосом в его известной статье «Быть ​​- значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)». Булос утверждал, что такие предложения требуют символизации второго порядка , которую можно интерпретировать как количественное определение множественного числа в той же области, что и кванторы первого порядка, без постулирования отдельных «объектов второго порядка» ( свойств , наборов и т. Д.).

Примеры [ править ]

• Понятие идентичности не может быть определено в языках первого порядка, просто неразличимость. ^[1]
• Теорема компактности подразумевает, что связность графа не может быть выражена в логике первого порядка. ^{[ требуется разъяснение ]}
• Свойство Архимеда, которое может использоваться для идентификации реальных чисел среди реальных закрытых полей .
• Стандартный пример является Гич - Каплан предложение : «Некоторые критики восхищаются только друг с другом.»

Если понимать Axy как означающее « x восхищается y », а вселенная дискурса - это совокупность всех критиков, то разумный перевод предложения в логику второго порядка выглядит следующим образом:

$${\ Displaystyle \ существует Икс (\ существует Икс, Y (Хх \ земля Xy \ земля Axy) \ земля \ существует x \ neg Xx \ land \ forall x \, \ forall y (Xx \ land Axy \ rightarrow Xy))}$$

То, что эта формула не имеет эквивалента первого порядка, можно увидеть следующим образом. Подставьте формулу ( y = x + 1 v x = y + 1) вместо Axy . Результат,

$${\ Displaystyle \ существует Икс (\ существует Икс, Y (Хх \ земля Xy \ земля (у = х + 1 \ лор х = у + 1)) \ земля \ существует х \ отр Xx \ земля \ для всех х \, \ forall y (Xx \ land (y = x + 1 \ lor x = y + 1) \ rightarrow Xy))}$$

утверждает, что существует непустое множество, которое закрывается при операциях предшественника и преемника, но не содержит всех чисел. Таким образом, это верно для всех нестандартных моделей арифметики, но неверно для стандартной модели. Так как ни одно предложение первого порядка не обладает этим свойством, результат будет следующим.

См. Также [ править ]

• Квантификатор ветвления
• Обобщенный квантор
• Множественная количественная оценка
• Реификация (лингвистика)

Ссылки [ править ]

• Джордж Булос (1984). «Быть ​​- значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)». Журнал философии . Журнал философии, Vol. 81, № 8. 81 (8): 430–49. DOI : 10.2307 / 2026308 . JSTOR  2026308 . Перепечатано в Boolos, George (1998). Логика, логика и логика . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-53767-X.

Внешние ссылки [ править ]

• Удобный для печати CSS и возможность отмены первого заказа от Теренс Тао