Нигде не плотный набор

В математике подмножество топологического пространства называется нигде не плотным или редким ^[1] , если его замыкание имеет пустую внутренность . ^{[примечание 1]} В очень широком смысле это набор, элементы которого нигде не сгруппированы плотно (как определено топологией пространства). Например, целые числа нигде не бывают плотными среди вещественных , а открытый шар — нет.

Окружающее пространство имеет значение: множество может быть нигде не плотным, если его рассматривать как подмножество топологического пространства, но не когда рассматривать его как подмножество другого топологического пространства . Примечательно, что множество всегда плотно в своей собственной топологии подпространства . ${\ Displaystyle А}$ ${\ Displaystyle Х,}$ ${\ Displaystyle Ю.}$

Счетное объединение нигде не плотных множеств называется тощим множеством . Тощие множества играют важную роль в формулировке теоремы Бэра о категориях .

Плотность нигде нельзя охарактеризовать тремя разными (но эквивалентными) способами. Самое простое определение - это плотность:

Подмножество топологического пространства называется плотным в другом множестве , если его пересечение является плотным подмножеством нигде не плотно или редко в , если оно не плотно ни в каком непустом открытом подмножестве множества. ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle S \ крышка U}$ ${\ Displaystyle У.}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle Х.}$

Расширяя отрицание плотности , это эквивалентно требованию, чтобы каждое непустое открытое множество содержало непустое открытое подмножество, не пересекающееся из ^[2] . ни в каком открытом интервале . ^[3]^[4] ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle С.}$ ${\ Displaystyle Х,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$