О схеме перенормировки оболочки

В квантовой теории поля , и особенно в квантовой электродинамике , теория взаимодействия приводит к бесконечным величинам, которые должны быть поглощены в процедуре перенормировки , чтобы можно было предсказать измеримые величины. Схема перенормировки может зависеть от типа рассматриваемых частиц. Для частиц, которые могут перемещаться на асимптотически большие расстояния, или для процессов с низкой энергией подходит схема на оболочке , также известная как физическая схема. Если эти условия не выполняются, можно обратиться к другим схемам, например к схеме минимального вычитания (схема MS).

Фермионный пропагатор в теории взаимодействий [ править ]

Знание различных пропагаторов является основой для вычисления диаграмм Фейнмана, которые являются полезными инструментами для предсказания, например, результатов экспериментов по рассеянию. В теории, где единственным полем является поле Дирака , пропагатор Фейнмана читает

${\ Displaystyle \ langle 0 | T (\ psi (x) {\ bar {\ psi}} (0)) | 0 \ rangle = iS_ {F} (x) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {ie ^ {- ip \ cdot x}} {p \! \! \! / - m + i \ epsilon}}}$

где это оператор временного упорядочения , вакуум в не взаимодействующей теории, и поле Дирака и его Дирака , сопряженный, и где левая часть уравнения является функция корреляции в двух точках поля Дирака.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ Displaystyle \ psi (х)}$${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (х)}$

В новой теории, поле Дирака может взаимодействовать с другим полем, например с электромагнитным полем в квантовой электродинамике, и сила взаимодействия измеряется с помощью параметра, в случае КЭДА это голый заряд электрона, . Общая форма пропагатора должна оставаться неизменной, а это означает, что если теперь представить вакуум во взаимодействующей теории, двухточечная корреляционная функция теперь будет иметь вид${\ displaystyle e}$${\displaystyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$

Были введены две новые величины. Сначала перенормированная масса была определена как полюс в преобразовании Фурье пропагатора Фейнмана. Это основной рецепт схемы перенормировки на оболочке (тогда нет необходимости вводить другие шкалы масс, как в схеме минимального вычитания). Величина представляет собой новую силу поля Дирака. Поскольку взаимодействие уменьшается до нуля с помощью разрешения , эти новые параметры должны стремиться к значению, чтобы восстановить пропагатор свободного фермиона, а именно и .${\displaystyle m_{r}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle e\rightarrow 0}$${\displaystyle m_{r}\rightarrow m}$${\displaystyle Z_{2}\rightarrow 1}$

Это означает, что и можно определить как ряд, если этот параметр достаточно мал (в системе единиц , где ,, где - постоянная тонкой структуры ). Таким образом, эти параметры можно выразить как${\displaystyle m_{r}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \hbar =c=1}$${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Z_{2}=1+\delta _{2}}$

${\displaystyle m_{r}=m+\delta m}$

С другой стороны, модификация пропагатора может быть вычислена с точностью до определенного порядка с использованием диаграмм Фейнмана. Эти модификации суммируются в собственной энергии фермиона${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \Sigma (p)}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$

Эти поправки часто расходятся, потому что содержат петли . Идентифицируя два выражения корреляционной функции до определенного порядка по , можно определить контрчлены, и они будут поглощать расходящиеся вклады поправок в пропагатор фермионов. Таким образом, перенормированные величины, такие как , останутся конечными и будут величинами, измеряемыми в эксперименте.${\displaystyle e}$${\displaystyle m_{r}}$

Фотонный пропагатор [ править ]

Так же, как то, что было сделано с фермионным пропагатором, форма фотонного пропагатора, вдохновленного свободным фотонным полем, будет сравниваться с фотонным пропагатором, вычисленным до определенного порядка в теории взаимодействия. Отмечается собственная энергия фотона и метрический тензор (здесь используется соглашение + ---)${\displaystyle e}$${\displaystyle \Pi (q^{2})}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}}$

Поведение контрчлена не зависит от импульса падающего фотона . Чтобы исправить это, используется поведение QED на больших расстояниях (что должно помочь восстановить классическую электродинамику ), т.е. когда , используется:${\displaystyle \delta _{3}=Z_{3}-1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$

Таким образом, контртерм фиксируется со значением .${\displaystyle \delta _{3}}$${\displaystyle \Pi (0)}$

Вершинная функция [ править ]

Аналогичные рассуждения с использованием вершинной функции приводят к перенормировке электрического заряда . Эта перенормировка и фиксация членов перенормировки выполняется с использованием того, что известно из классической электродинамики в больших пространственных масштабах. Это приводит к значению контрчлена , который, по сути, равняться из-за идентичности Уорд-Такахаси . Именно этот расчет объясняет аномальный магнитный дипольный момент фермионов.${\displaystyle e_{r}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

Изменение масштаба лагранжиана QED [ править ]

Мы рассмотрели некоторые факторы пропорциональности (например, ), которые были определены из формы пропагатора. Однако они также могут быть определены из лагранжиана QED, что будет сделано в этом разделе, и эти определения эквивалентны. Лагранжиан, описывающий физику квантовой электродинамики, имеет вид${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

где есть тензор напряженности поля , является спинорная Дирака (релятивистская эквивалент волновой функции ), а также электромагнитного потенциала . Параметры теории являются , , и . Эти величины оказываются бесконечными из-за петлевых поправок (см. Ниже). Можно определить перенормированные величины (которые будут конечными и наблюдаемыми):${\displaystyle F_{\mu \nu }}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$

Они называются контртермами (возможны и другие их определения). По параметру они должны быть небольшими . Теперь лагранжиан читается в терминах перенормированных величин (до первого порядка по контрчленам):${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}}$

Рецепт перенормировки - это набор правил, который описывает, какая часть расходимостей должна быть в перенормированных величинах, а какая - в контрчленах. Рецепт часто основан на теории свободных полей, то есть на поведении и том, когда они не взаимодействуют (что соответствует удалению члена в лагранжиане).${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

Ссылки [ править ]

• М. Пескин и Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля Аддисон-Уизли, Рединг, 1995 г.
• М. Средницки, http://www.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html Квантовая теория поля
• Т. Германн, https://www.mitschriften.ethz.ch/main.php?page=3&details=161 Квантовая теория поля 1