Порядковая арифметика
В математической области теории множеств порядковая арифметика описывает три обычные операции над порядковыми числами : сложение , умножение и возведение в степень . Каждая из них может быть определена по существу двумя различными способами: либо путем построения явного упорядоченного множества , представляющего результат операции, либо с помощью трансфинитной рекурсии . Нормальная форма Кантора обеспечивает стандартизированный способ записи порядковых номеров. В дополнение к этим обычным порядковым операциям существуют также «естественная» арифметика порядковых чисел и числовые операции .
Объединение двух непересекающихся вполне упорядоченных множеств S и T может быть вполне упорядоченным. Тип порядка этого объединения — это порядковый номер, полученный в результате сложения типов порядка S и T . Если два хорошо упорядоченных множества еще не являются непересекающимися, то их можно заменить изоморфными по порядку непересекающимися множествами, например, заменить S на {0} × S и T на {1} × T . Таким образом, хорошо упорядоченное множество S записывается «слева» от упорядоченного множества T , что означает, что на S T определяется порядок, в котором каждый элемент S меньше любого элемента T . Сами множества S и T сохраняют уже имеющийся порядок. Это добавление типов порядка является ассоциативным и обобщает добавление натуральных чисел .
Первый трансфинитный ординал — это ω, множество всех натуральных чисел. Например, ординал ω + ω получается двумя копиями натуральных чисел, упорядоченных обычным образом, причем вторая копия полностью справа от первой. Запись 0' < 1' < 2' < ... для второй копии, ω + ω выглядит как
Это отличается от ω, потому что в ω только 0 не имеет прямого предшественника, а в ω + ω два элемента 0 и 0' не имеют прямых предшественников. В качестве другого примера, вот 3 + ω и ω + 3:
После перемаркировки первое просто выглядит как само ω, т. е. 3 + ω = ω, а второе — нет: ω + 3 не равно ω, так как ω + 3 имеет наибольший элемент (а именно 2'), а ω не равно (даже если ω и ω + 3 равномощны , они не изоморфны). Следовательно, это сложение некоммутативно . На самом деле α + β очень редко бывает равно β + α : это происходит тогда и только тогда , когда α = γm , β = γn для некоторого ординала γ и натуральных чисел m и n .. Отсюда следует, что « а коммутирует с р » — отношение эквивалентности на классе ненулевых ординалов, причем все классы эквивалентности счетно бесконечны. Однако сложение по-прежнему ассоциативно ; можно видеть, например, что (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω.
Порядковое сложение сокращается слева : если α + β = α + γ , то β = γ . Кроме того, можно определить левое вычитание для ординалов β ≤ α : существует единственное γ такое, что α = β + γ . С другой стороны, правая отмена не работает: