Ортографическая проекция карты

Ортографическая проекция (экваториальный аспект) восточного полушария 30W – 150E.

Ортографическая проекция с индикатрисой деформации Тиссо .

Использование орфографической проекции в картографии восходит к глубокой древности. Подобно стереографической проекции и гномонической проекции , ортогональная проекция - это перспективная (или азимутальная) проекция , в которой сфера проецируется на касательную плоскость или секущую плоскость . Точка зрения для орфографической проекции на бесконечном расстоянии. Она изображает полушарие от земного шара , как это видно из космоса , где горизонт представляет собой большой круг. Формы и области искажены , особенно по краям. ^{[1] [2]}

История [ править ]

Ортогональная проекция была известна с древних времен , с его картографические использования будучи хорошо документированы. Гиппарх использовал проекцию во II веке до нашей эры, чтобы определить места восхода и захода звезд. Примерно в 14 г. до н.э. римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и вычисления положения солнца. ^[2]

Витрувий, кажется, также придумал термин «орфографический» (от греческого orthos (= «прямой») и graphē (= «рисунок»)) для обозначения проекции. Однако название аналемма , которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было общим названием до тех пор, пока Франсуа д'Агилон из Антверпена не выдвинул его нынешнее название в 1613 году ^[2].

Самые ранние сохранившиеся карты на проекции представляют собой гравюры на дереве земных глобусов 1509 года (анонимно), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шенер), 1524 и 1551 годов (Апиан). Это было грубо. Усовершенствованная карта, разработанная эрудитом эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером и выполненная Иоганнесом Стабиусом, появилась в 1515 году ^[2].

Фотографии Земли и других планет с космических кораблей возродили интерес к орфографической проекции в астрономии и планетологии .

Математика [ править ]

Эти формулы для сферической орфографической проекции получены с использованием тригонометрии . Они написаны в терминах долготы ( λ ) и широта ( φ ) на сфере . Определить радиус этого шара R и центральную точку (и происхождение ) проекции ( λ ₀ , φ ₀ ). В уравнения для орфографической проекции на плоскость ( х , у ) касательной плоскости сводятся к следующему: ^[1]

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = R \, \ cos \ varphi \ sin \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) \\ y & = R {\ big (} \ cos \ varphi _ {0} \ sin \ varphi - \ sin \ varphi _ {0} \ cos \ varphi \ cos \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) {\ big)} \ end {align}}}$

Широты за пределами диапазона карты должны быть обрезаны путем вычисления расстояния c от центра ортогональной проекции. Это гарантирует, что точки в противоположном полушарии не будут нанесены:

${\ displaystyle \ cos c = \ sin \ varphi _ {0} \ sin \ varphi + \ cos \ varphi _ {0} \ cos \ varphi \ cos \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) \ ,}$.

Точка должна быть вырезана из карты, если cos ( c ) отрицательный.

Обратные формулы даются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$

Для вычисления обратных формул рекомендуется использовать двухаргументную форму atan2 функции обратного тангенса (в отличие от atan ). Это гарантирует, что знак орфографической проекции в том виде, в каком он написан, правильный во всех квадрантах .

Обратные формулы особенно полезны при попытке спроецировать переменную, определенную в сетке ( λ , φ ), на прямолинейную сетку в ( x , y ). Прямое применение орфографической проекции дает разбросанные точки в ( x , y ), что создает проблемы для построения графиков и численного интегрирования . Одно из решений - начать с плоскости проекции ( x , y ) и построить изображение из значений, определенных в ( λ , φ ), используя формулы, обратные ортогональной проекции.

См. Справочные материалы для эллипсоидальной версии ортогональной картографической проекции. ^[3]

Ортографические проекции на цилиндры [ править ]

В широком смысле все проекции с точкой перспективы на бесконечности (и, следовательно, параллельными выступающими линиями) считаются ортогональными, независимо от поверхности, на которую они проецируются. Такие выступы искажают углы и участки вблизи полюсов. ^{[ требуется разъяснение ]}

Примером ортогональной проекции на цилиндр является цилиндрическая равновеликая проекция Ламберта .

См. Также [ править ]

• Список картографических проекций
• Стереографическая проекция в картографии

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с орфографической проекцией (картографией) .

• Ортографическая проекция - от MathWorld