Параболическое уравнение в частных производных

Параболическое уравнение представляет собой тип дифференциального уравнения в частных (PDE). Параболические PDE используются для описания широкого спектра зависящих от времени явлений, включая теплопроводность , диффузию частиц и ценообразование производных инвестиционных инструментов .

Определение [ править ]

Чтобы определить простейший вид параболического уравнения в частных производных, рассмотрим действительную функцию двух независимых вещественных переменных и . Второго порядка, линейные, с постоянным коэффициентом ФДЭ для принимает вид${\ Displaystyle и (х, у)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + F = 0,}$

и это УЧП классифицируется как параболическое, если коэффициенты удовлетворяют условию

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Обычно представляет собой одномерное положение и время, а PDE решается с учетом заданных начальных и граничных условий.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Название «параболический» используется потому, что предположение о коэффициентах такое же, как условие для уравнения аналитической геометрии для определения плоской параболы .${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

Основным примером параболического уравнения в частных производных является одномерное уравнение теплопроводности ,

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

где - температура во время и в положении вдоль тонкого стержня, а - положительная константа ( коэффициент температуропроводности ). Символ означает частную производную по отношению к временной переменной , а так же является второй частной производной по отношению к . Для этого примера, играет роль в общем второго порядка линейного PDE: , и остальные коэффициенты равны нулю.${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u_{xx}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A=\alpha }$${\displaystyle E=-1}$

Уравнение теплопроводности примерно говорит о том, что температура в данный момент времени и в данный момент повышается или понижается со скоростью, пропорциональной разнице между температурой в этой точке и средней температурой в этой точке. Величина измеряет, насколько температура далека от удовлетворения среднему значению гармонических функций .${\displaystyle u_{xx}}$

Понятие параболического уравнения в частных производных может быть обобщено несколькими способами. Например, поток тепла через материальное тело регулируется трехмерным уравнением теплопроводности :

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

где

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}}$

обозначает оператор Лапласа , действующий на . Это уравнение является прототипом многомерного параболического уравнения в частных производных.${\displaystyle u}$

Заметив, что это эллиптический оператор, предлагается более широкое определение параболического УЧП:${\displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

где - эллиптический оператор второго порядка (что означает, что он должен быть положительным ; случай, когда он рассматривается ниже).${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

Система уравнений в частных производных для вектора также может быть параболической. Например, такая система скрыта в уравнении вида${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

если матричнозначная функция имеет ядро размерности 1.${\displaystyle a(x)}$

Параболические УЧП также могут быть нелинейными. Например, уравнение Фишера представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, которое включает тот же член диффузии, что и уравнение теплопроводности, но включает член линейного роста и член нелинейного затухания.

Решение [ править ]

При общих предположениях начальная / краевая задача для линейного параболического уравнения в частных производных имеет решение на все времена. Решение , как функция в течение фиксированного времени , обычно более гладкое, чем исходные данные .${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

Для нелинейного параболического УЧП решение начальной / краевой задачи может взорваться в сингулярности за конечный промежуток времени. Может быть трудно определить, существует ли решение на все времена, или понять возникающие особенности. Такие интересные вопросы возникают при решении гипотезы Пуанкаре с помощью потока Риччи . ^{[ необходима цитата ]}

Обратное параболическое уравнение [ править ]

Иногда встречается так называемое обратное параболическое уравнение в частных производных , которое принимает форму (обратите внимание на отсутствие знака минус).${\displaystyle u_{t}=Lu}$

Начальная задача для уравнения обратной теплопроводности,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}},}$

эквивалентна конечной задаче для обычного уравнения теплопроводности,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

Начальная / краевая задача для обратного параболического уравнения в частных производных обычно некорректно поставлена (решения часто становятся неограниченными за конечное время или даже не существуют). Тем не менее, эти проблемы важны для изучения отражения особенностей решений различных других УЧП. ^[1] Более того, они возникают в связи с проблемой ценообразования для определенных финансовых инструментов .

Примеры [ править ]

• Уравнение тепла
• Средняя кривизна потока
• Риччи поток

См. Также [ править ]

• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Автоволна

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], уравнения с частными производными , аспирантура по математике , 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / gsm / 019 , ISBN 978-0-8218-4974-3, Руководство по ремонту  2597943
• "Параболическое уравнение в частных производных" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Параболическое уравнение в частных производных, численные методы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]