Параболоидальные координаты

Параболоидальные координаты - это трехмерные ортогональные координаты, которые обобщают двумерные параболические координаты . Они обладают эллиптическими параболоидами как однокоординатными поверхностями. По существу, их следует отличать от параболических цилиндрических координат и параболических координат вращения , которые также являются обобщениями двумерных параболических координат. Координатные поверхности первых представляют собой параболические цилиндры, а координатные поверхности вторых - круговые параболоиды.${\ Displaystyle (\ му, \ ню, \ лямбда)}$

В отличие от цилиндрических и вращательных параболических координат, но аналогично соответствующим эллипсоидальным координатам , координатные поверхности параболоидальной системы координат не создаются путем вращения или проецирования какой-либо двумерной ортогональной системы координат.

Координатные поверхности трехмерных параболоидальных координат.

Основные формулы [ править ]

Декартовы координаты могут быть получены из эллипсоидальных координат с помощью уравнений ^[1]${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ Displaystyle (\ му, \ ню, \ лямбда)}$

${\ Displaystyle х ^ {2} = {\ гидроразрыва {4} {bc}} (\ mu -b) (b- \ nu) (b- \ lambda)}$

${\ Displaystyle у ^ {2} = {\ гидроразрыва {4} {bc}} (\ mu -c) (c- \ nu) (\ lambda -c)}$

${\ displaystyle z = \ mu + \ nu + \ lambda -bc}$

с

${\ displaystyle \ mu> b> \ lambda> c> \ nu> 0}$

Следовательно, поверхности постоянных являются открывающимися вниз эллиптическими параболоидами:${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {\ mu -b}} + {\ frac {y ^ {2}} {\ mu -c}} = - 4 (z- \ mu)}$

Точно так же поверхности постоянных являются открывающимися вверх эллиптическими параболоидами,${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {b- \ nu}} + {\ frac {y ^ {2}} {c- \ nu}} = 4 (z- \ nu)}$

тогда как поверхности константы являются гиперболическими параболоидами:${\ displaystyle \ lambda}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}$

Коэффициенты масштабирования [ править ]

Масштабные коэффициенты для параболоидальных координат равны ^[2]${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$

${\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

Дифференциальные операторы [ править ]

Общие дифференциальные операторы могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы для этих операторов , которые применимы к любым трехмерным ортогональным координатам. Например, оператор градиента представляет${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$

а лапласиан равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$

Приложения [ править ]

Параболоидальные координаты могут быть полезны для решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных . Например, уравнение Лапласа и уравнение Гельмгольца оба разъемные в параболоидальных координатах. Следовательно, координаты могут использоваться для решения этих уравнений в геометриях с параболоидальной симметрией, то есть с граничными условиями, заданными на сечениях параболоидов.

Уравнение Гельмгольца есть . Принимая , разделенные уравнения имеют вид ^[3]${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}$

где и - две постоянные разделения. Точно так же разделенные уравнения для уравнения Лапласа могут быть получены путем установки в вышеупомянутом.${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle k=0}$

Каждое из разделенных уравнений можно представить в виде уравнения Бэра . Однако прямое решение уравнений затруднено отчасти потому, что константы разделения и присутствуют одновременно во всех трех уравнениях. ${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$

Следуя описанному выше подходу, параболоидальные координаты использовались для определения электрического поля, окружающего проводящий параболоид. ^[4]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Лью Ян Вун, LC, Willatzen M (2011). Разделимые краевые задачи в физике . Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41020-0.
• Морс PM , Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 664. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Маргенау H , Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.  184 -185. LCCN  55010911 .
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 180 . LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Арфкен Г (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С. 119–120.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 98. LCCN  67025285 .
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя u _k на ξ _k .
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Параболоидальные координаты (μ, ν, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 44–48 (Таблица 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки [ править ]

• MathWorld описание конфокальных параболоидальных координат