Параболоид

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Paraboloid"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Параболоид революции

В геометрии , A параболоида является поверхность второго порядка, которая имеет ровно одну ось симметрии и нет центра симметрии . Термин «параболоид» происходит от слова « парабола» , обозначающего коническое сечение , обладающее аналогичным свойством симметрии.

Каждое плоское сечение параболоида плоскостью, параллельной оси симметрии, является параболой. Параболоид является гиперболическим, если любое другое плоское сечение является либо гиперболой , либо двумя пересекающимися линиями (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид является эллиптическим, если любое другое непустое сечение плоскости является либо эллипсом , либо единственной точкой (в случае сечения касательной плоскостью). Параболоид бывает эллиптическим или гиперболическим.

Эквивалентно параболоид может быть определен как квадратная поверхность, которая не является цилиндром , и имеет неявное уравнение , часть второй степени которого может быть разложена на комплексные числа на два различных линейных фактора. Параболоид является гиперболическим, если факторы действительны; эллиптический, если множители комплексно сопряжены .

Эллиптический параболоид имеет форму овальной чашки и имеет точку максимума или минимума, когда его ось вертикальна. В подходящей системе координат с тремя осями x , y и z это может быть представлено уравнением ^[1]

${\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}$

где a и b - константы, которые определяют уровень кривизны в плоскостях xz и yz соответственно. В этом положении эллиптический параболоид открывается вверх.

Гиперболический параболоид

Гиперболоидный параболоид (не путать с гиперболоидом ) - это поверхность с двойной линией, имеющая форму седла . В подходящей системе координат гиперболический параболоид можно представить уравнением ^{[2] [3]}

${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$

В этом положении гиперболический параболоид открывается вниз по оси x и вверх по оси y (то есть парабола в плоскости x = 0 открывается вверх, а парабола в плоскости y = 0 открывается вниз).

Любой параболоид (эллиптический или гиперболический) является трансляционной поверхностью , так как он может быть создан движущейся параболой, направленной второй параболой.

Свойства и приложения

Эллиптический параболоид

В подходящей декартовой системе координат эллиптический параболоид имеет уравнение

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$

Если a = b , эллиптический параболоид - это круговой параболоид или параболоид вращения . Это поверхность вращения, полученная путем вращения параболы вокруг своей оси.

Очевидно, круговой параболоид содержит круги. Это верно и в общем случае (см. Раздел Циркуляр ).

С точки зрения проективной геометрии , эллиптический параболоид является эллипсоидом , что является касательной к плоскости на бесконечности .

Плоские секции

Плоские сечения эллиптического параболоида могут быть:

• парабола , если плоскость параллельна оси,
• точка , если плоскость является касательной плоскостью .
• эллипс или опорожнить , в противном случае.

Параболический отражатель

На оси кругового параболоида есть точка, называемая фокусом (или фокусной точкой ), так что, если параболоид является зеркалом, свет (или другие волны) от точечного источника в фокусе отражается в параллельный луч. , параллельно оси параболоида. Это также работает и наоборот: параллельный луч света, параллельный оси параболоида, концентрируется в фокусной точке. Для доказательства см. Парабола § Доказательство отражательного свойства .

Поэтому форма круглого параболоида широко используется в астрономии для параболических отражателей и параболических антенн.

Поверхность вращающейся жидкости также представляет собой круговой параболоид. Это используется в телескопах с жидкостными зеркалами и в изготовлении твердых зеркал телескопов (см. Вращающуюся печь ).

• Параллельные лучи, попадающие в круглое параболоидальное зеркало, отражаются к фокусной точке F или наоборот.

• Параболический отражатель

• Вращающаяся вода в стакане

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид - это двояковыпуклая поверхность : он содержит два семейства взаимно наклонных линий . Линии в каждом семействе параллельны общей плоскости, но не друг другу. Следовательно, гиперболический параболоид - коноид .

Эти свойства характеризуют гиперболические параболоиды и используются в одном из старейших определений гиперболических параболоидов: гиперболический параболоид - это поверхность, которая может быть образована движущейся линией, параллельной фиксированной плоскости и пересекающей две фиксированные наклонные линии .

Это свойство упрощает изготовление гиперболического параболоида из различных материалов и для различных целей, от бетонных крыш до закусок. В частности, жареные закуски Pringles напоминают усеченный гиперболический параболоид. ^[4]

Гиперболический параболоид - это седловая поверхность , так как его кривизна Гаусса отрицательна в каждой точке. Таким образом, хотя это линейчатая поверхность, она не поддается развёртыванию .

С точки зрения проективной геометрии , гиперболический параболоид один гиперболоид , который является касательной к плоскости на бесконечности .

Гиперболическое параболоид уравнения или (это то же самое до с вращением осей ) можно назвать прямоугольной гиперболический параболоид , по аналогии с прямоугольными гиперболы .${\displaystyle z=axy}$${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

Плоские секции

Плоское сечение гиперболического параболоида с уравнением

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

может быть

• линии , если плоскость параллельна г оси х, и имеет уравнение вида ,${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• парабола , если плоскость параллельна г оси х, а секция не является прямой,
• пара пересекающихся прямых , если плоскость касается касательной ,
• в противном случае гипербола .

Примеры в архитектуре

Седловидные крыши часто представляют собой гиперболические параболоиды, поскольку их легко построить из прямых участков материала. Некоторые примеры:

• Собор Святой Марии, Токио , Япония (1964 г.)
• Собор Пресвятой Богородицы Успения Пресвятой Богородицы , Сан-Франциско, Калифорния, США (1971 г.)
• Saddledome в Калгари, Альберта, Канада (1983)
• L'Oceanogràfic в Валенсии, Испания (2003)
• Лондонский Велопарк , Англия (2011)

• Железнодорожная станция Варшава Охота , пример конструкции гиперболического параболоида

• Поверхность, изображающая гиперболический параболоид

• Restaurante Los Manantiales, Сочимилько, Мексика

• Гиперболические параболоидные тонкостенные крыши в L'Oceanogràfic , Валенсия, Испания (снято в 2019 г.)

Цилиндр между карандашами эллиптических и гиперболических параболоидов

Карандаш эллиптического параболоида

${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$

и пучок гиперболических параболоидов

${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$

подходить к той же поверхности

${\displaystyle z=x^{2}}$

для , который представляет собой параболический цилиндр (см. изображение).${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

Кривизна

Эллиптический параболоид, параметризованный просто как

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$

имеет гауссову кривизну

${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$

и средняя кривизна

${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$

которые всегда положительны, имеют максимум в начале координат, становятся меньше по мере удаления точки на поверхности от начала координат и асимптотически стремятся к нулю по мере того, как указанная точка бесконечно удаляется от начала координат.

Гиперболический параболоид ^[2], параметризованный как

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$

имеет гауссову кривизну

${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$

и средняя кривизна

${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$

Геометрическое представление таблицы умножения

Если гиперболический параболоид

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

поворачивается на угол π / 4 в направлении + z (согласно правилу правой руки ), в результате получается поверхность

${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$

и если a = b, то это упрощается до

${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}}$.

Наконец, полагая a = √ 2 , мы видим, что гиперболический параболоид

${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$

конгруэнтно поверхности

${\displaystyle z=xy}$

которую можно рассматривать как геометрическое представление (как бы трехмерную номограмму ) таблицы умножения .

Две параболоидальные ℝ ² → функции

${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$

а также

${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$

являются гармонически сопряженными и вместе образуют аналитическую функцию

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$

который является аналитическим продолжением из ℝ → ℝ параболическая функция ф ( х ) = х ² / 2 .

Размеры параболоидальной тарелки

Размеры симметричной параболоидальной тарелки связаны уравнением

${\displaystyle 4FD=R^{2},}$

где F - фокусное расстояние, D - глубина тарелки (измеренная по оси симметрии от вершины до плоскости обода), а R - радиус обода. Все они должны быть одной длины . Если известны две из этих трех длин, это уравнение можно использовать для расчета третьей.

Чтобы найти диаметр тарелки, измеренный по ее поверхности, требуется более сложный расчет . Иногда его называют «линейным диаметром», и он равен диаметру плоского круглого листа материала, обычно металла, который имеет правильный размер, который нужно разрезать и согнуть, чтобы сделать блюдо. Две промежуточные результаты могут быть использованы при расчете: Р = 2 Р (или эквивалент: Р = Р ² / 2 D ) и Q = √ P ² + R ² , где F , D и Rопределены, как указано выше. Диаметр тарелки, измеренный по поверхности, тогда определяется как

${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$

где ЛУ х означает , что натуральный логарифм от х , то есть ее логарифм основания е .

Объем блюда, количество жидкости, которое оно могло бы удержать, если бы край был горизонтальным, а вершина находилась на дне (например, вместимость параболоидального вок ), определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$

где символы определены, как указано выше. Это можно сравнить с формулами для объемов цилиндра ( π R ² D ), полусферы ( 2π / 3 R ² D , где D = R ) и конуса ( π / 3 R ² D ). π R ² - это площадь апертуры тарелки, площадь, ограниченная ободком, которая пропорциональна количеству солнечного света, которое рефлекторная тарелка может перехватить. Площадь поверхности параболической тарелки можно найти, используя формулу площади дляповерхность вращения, которая дает

${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$

Смотрите также

• Эллипсоид  - Квадрическая поверхность, которая выглядит как деформированная сфера.
• Гиперболоид  - неограниченная квадратичная поверхность
• Параболический громкоговоритель  - параболический громкоговоритель, создающий когерентные плоские волны
• Параболический отражатель  - отражатель, имеющий форму параболоида.

использованная литература

внешние ссылки

• СМИ, связанные с Параболоидом, на Викискладе?