Парадокс паррондо , парадокс в теории игр , был описан как: Комбинация проигрышных стратегий становится выигрышной стратегией . [1] Он назван в честь его создателя Хуана Паррондо , который обнаружил парадокс в 1996 году. Более пояснительное описание:
- Существуют пары игр, каждая с большей вероятностью проигрыша, чем выигрыша, для которых можно построить выигрышную стратегию, играя в игры поочередно.
Паррондо придумал парадокс в связи с его анализом броуновского храповика , мысленного эксперимента с машиной, которая якобы может извлекать энергию из случайных тепловых движений, популяризированных физиком Ричардом Фейнманом . Однако при тщательном анализе парадокс исчезает. [2] Стратегии победы, состоящие из различных комбинаций стратегий проигрыша, изучались в биологии до того, как был опубликован парадокс Паррондо. [3] Совсем недавно проблемы эволюционной биологии и экологии были смоделированы и объяснены в терминах парадокса. [4] [5]
Наглядные примеры
Пример с пилой
Рассмотрим пример, в котором есть две точки A и B, имеющие одинаковую высоту, как показано на рисунке 1. В первом случае у нас есть плоский профиль, соединяющий их. Здесь, если мы оставим в середине несколько круглых шариков, которые перемещаются назад и вперед случайным образом, они будут катиться случайным образом, но в оба конца с равной вероятностью. Теперь рассмотрим второй случай, когда между ними есть зубчатая область. Здесь также шарики будут катиться к обоим концам с равной вероятностью (если бы существовала тенденция двигаться в одном направлении, шарики в кольце такой формы имели бы тенденцию самопроизвольно выделять тепловую энергию для вращения, нарушая второй закон термодинамики). Теперь , если мы наклонить весь профиль в направлении вправо, как показано на рисунке 2, то вполне очевидно , что оба эти дела станут смещена в сторону B .
Теперь рассмотрим игру, в которой мы чередуем два профиля, разумно выбирая время между переходом от одного профиля к другому.
Когда мы уезжаем несколько шариков на первый профиль в точке Е , они распределяются на плоскости , показывая преимущественные движения в направлении точки B . Однако, если мы применим второй профиль, когда некоторые из шариков пересекли точку C , но ни один не пересек точку D , мы получим большинство шариков обратно в точку E (откуда мы начали изначально), но некоторые также в долине. по направлению к точке А, если у шариков достаточно времени, чтобы катиться в долину. Затем мы снова применяем первый профиль и повторяем шаги (точки C , D и E теперь сдвинуты на один шаг, чтобы обозначить последнюю долину, ближайшую к A ). Если ни один шарик не пересечет точку C до того, как первый шарик пересечет точку D , мы должны применить второй профиль незадолго до того, как первый шарик пересечет точку D , чтобы начать заново.
Отсюда легко следует , что в конечном итоге мы будем иметь шарики в точке А , но ни в точке B . Следовательно, если мы определяем наличие шариков в точке A как победу и наличие шариков в точке B как проигрыш, мы явно выигрываем, чередуя (в правильно выбранное время) между двумя проигрышными играми.
Пример подбрасывания монеты
Второй пример парадокса Паррондо взят из области азартных игр. Попробуйте сыграть в две игры, игру A и игру B, по следующим правилам. Для удобства определимбыть нашей столицей в момент времени t , непосредственно перед игрой.
- Победа в игре приносит нам 1 доллар, а проигрыш требует от нас отдать 1 доллар. Следует, чтоесли мы выиграем на шаге t иесли мы проиграем на шаге t .
- В игре A мы подбрасываем монету с ошибкой, Монету 1, с вероятностью выигрыша.. Если, это явно проигрышная игра в долгосрочной перспективе.
- В игре B мы сначала определяем, кратна ли наша столица некоторому целому числу.. Если это так, мы подбрасываем предвзятую монету, Монету 2, с вероятностью выигрыша.. Если это не так, мы подбрасываем другую предвзятую монету, Монету 3, с вероятностью выигрыша.. Роль по модулю обеспечивает периодичность, как в храповых зубах.
Понятно, что, играя в игру А, мы почти наверняка проиграем в долгосрочной перспективе. Хармер и Эбботт [1] с помощью моделирования показывают, что если а также Игра B также почти наверняка проигрывает. Фактически, Игра B - это цепь Маркова , и анализ ее матрицы перехода состояний (опять же с M = 3) показывает, что вероятность устойчивого состояния использования монеты 2 составляет 0,3836, а вероятность использования монеты 3 - 0,6164. [6] Поскольку монета 2 выбирается почти в 40% случаев, она оказывает непропорционально большое влияние на выигрыш в игре B и приводит к тому, что игра является проигрышной.
Однако, когда эти две проигрышные игры разыгрываются в некоторой чередующейся последовательности - например, две игры A, а затем две игры B (AABBAABB ...), комбинация этих двух игр, как ни парадоксально, является выигрышной игрой. Не все чередующиеся последовательности A и B приводят к выигрышным играм. Например, одна игра в A, за которой следует одна игра в B (ABABAB ...), является проигрышной, а одна игра в A, за которой следуют две игры в B (ABBABB ...), является выигрышной. Этот пример с подбрасыванием монеты стал канонической иллюстрацией парадокса Паррондо: две игры, каждая из которых проигрывает при индивидуальном разыгрыше, становятся выигрышной при игре в определенной чередующейся последовательности.
Разрешение парадокса
Очевидный парадокс было объяснено с помощью ряда сложных подходов, в том числе цепей Маркова, [7] мигающие трещотки, [8] имитации отжига , [9] и теории информации. [10] Один из способов объяснить очевидный парадокс заключается в следующем:
- В то время как игра B является проигрышной игрой при распределении вероятностей, которое по модулю при индивидуальной игре ( по модулю это остаток, когда делится на ), это может быть выигрышная игра при других распределениях, поскольку есть по крайней мере одно состояние, в котором его ожидание положительно.
- Поскольку распределение результатов игры B зависит от капитала игрока, две игры не могут быть независимыми. Если бы это было так, то игра с ними в любой последовательности тоже проиграла бы.
Роль теперь в фокусе. Он служит исключительно для того, чтобы вызвать зависимость между играми A и B, так что игрок с большей вероятностью войдет в состояния, в которых игра B имеет положительное ожидание, что позволяет ему преодолеть потери от игры A. При таком понимании парадокс разрешается сам собой. : Отдельные игры проигрывают только при распределении, которое отличается от того, которое фактически встречается при игре в составную игру. Таким образом, парадокс Паррондо является примером того, как зависимость может нанести ущерб вероятностным вычислениям, сделанным при наивном предположении о независимости. Более подробное изложение этого момента вместе с несколькими связанными примерами можно найти у Филипса и Фельдмана. [11]
Упрощенный пример
Для более простого примера того, как и почему работает парадокс, снова рассмотрим две игры Game A и Game B , на этот раз со следующими правилами:
- В игре A вы просто теряете 1 доллар каждый раз, когда играете.
- В игре B вы подсчитываете, сколько денег у вас осталось - если это четное число, вы выигрываете 3 доллара, в противном случае вы теряете 5 долларов.
Допустим, вы начинаете со 100 долларами в кармане. Если вы начнете играть исключительно в Игру А, вы, очевидно, потеряете все свои деньги за 100 раундов. Точно так же, если вы решите играть исключительно в Игру Б, вы также потеряете все свои деньги за 100 раундов.
Однако рассмотрите возможность альтернативной игры, начиная с игры B, затем с игры A, затем игры B и так далее (БАБАБА ...). Должно быть легко увидеть, что вы будете стабильно зарабатывать в общей сложности 2 доллара за каждые две игры.
Таким образом, даже несмотря на то, что каждая игра является проигрышной, если играть в одиночку, поскольку на результаты игры B влияет игра A, последовательность, в которой проводятся игры, может влиять на то, как часто игра B приносит вам деньги, и, следовательно, результат будет другим. от случая, когда любая игра ведется сама по себе.
Приложения
Парадокс Паррондо широко используется в теории игр, и его применение к инженерии, динамике населения [3], финансовым рискам и т. Д. Является областью активных исследований. Игры Паррондо имеют мало практического применения, например, для инвестирования в фондовые рынки [12], поскольку исходные игры требуют, чтобы выплата по крайней мере в одной из взаимодействующих игр зависела от капитала игрока. Однако нет необходимости ограничивать игры их первоначальной формой, и работа над обобщением этого явления продолжается. Было указано на сходство с накачкой волатильности и проблемой двух огибающих [13] . Простые модели доходности ценных бумаг из учебников по финансам использовались для доказательства того, что отдельные инвестиции с отрицательной средней долгосрочной доходностью можно легко объединить в диверсифицированные портфели с положительной медианной долгосрочной доходностью. [14] Аналогичным образом, модель, которая часто используется для иллюстрации оптимальных правил ставок, использовалась для доказательства того, что разделение ставок между несколькими играми может превратить отрицательную медианную долгосрочную доходность в положительную. [15] В эволюционной биологии как случайные изменения фаз бактерий [16], так и эволюция менее точных датчиков [4] были смоделированы и объяснены в терминах парадокса. В экологии периодическое чередование определенных организмов между кочевым и колониальным поведением было предложено как проявление парадокса. [5] Было обнаружено интересное применение в моделировании выживания многоклеточных как следствие парадокса [17] и некоторые интересные дискуссии о его осуществимости. [18] [19] Применение парадокса Паррондо также можно найти в теории надежности. [20] Заинтересованные читатели могут обратиться к трем обзорным статьям, опубликованным за эти годы, [21] [22], в самой последней из которых исследуется эффект Паррондо в биологии. [23]
Имя
В ранней литературе о парадоксе Паррондо обсуждалось, является ли слово «парадокс» подходящим описанием, учитывая, что эффект Паррондо можно понять в математических терминах. «Парадоксальный» эффект можно математически объяснить в терминах выпуклой линейной комбинации.
Однако Дерек Эбботт , ведущий исследователь в этой области, дает следующий ответ относительно использования слова «парадокс» в этом контексте:
Действительно ли парадокс Паррондо «парадокс»? Этот вопрос иногда задают математики, тогда как физиков такие вещи обычно не волнуют. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что «парадокс Паррондо» - это просто название, точно так же, как « парадокс Брэсса » или « парадокс Симпсона» . Во-вторых, как и в случае с большинством названных парадоксов, все они действительно кажущиеся парадоксами. В этих случаях люди опускают слово «очевидный», потому что оно пустое, и в любом случае оно очевидно. Так что никто не утверждает, что это парадоксы в строгом смысле слова. В широком смысле парадокс - это просто нечто противоречащее интуиции. Игры Паррондо, безусловно, противоречат здравому смыслу - по крайней мере, до тех пор, пока вы не изучите их внимательно в течение нескольких месяцев. По правде говоря, мы все еще продолжаем находить новые удивительные вещи, которые радуют нас, исследуя эти игры. У меня был один математик, который жаловался, что игры всегда были ему очевидны, и поэтому нам не следует использовать слово «парадокс». Он либо гений, либо вообще никогда этого не понимал. В любом случае с такими людьми не стоит спорить. [24]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ а б Хармер, ГП; Эбботт, Д. (1999). «Проигрышные стратегии могут выиграть по парадоксу Паррондо». Природа . 402 (6764): 864. DOI : 10.1038 / 47220 .
- ^ а б Шу, Цзянь-Цзюнь; Ван, К.-В. (2014). «Вне парадокса Паррондо» . Научные отчеты . 4 (4244): 4244. arXiv : 1403.5468 . Bibcode : 2014NatSR ... 4E4244S . DOI : 10.1038 / srep04244 . PMC 5379438 . PMID 24577586 .
- ^ а б Янсен, VAA; Йошимура, Дж. (1998). «Популяции могут сохраняться в окружающей среде, состоящей только из поглотителей» . Труды Национальной академии наук США . 95 (7): 3696–3698. Bibcode : 1998PNAS ... 95.3696J . DOI : 10.1073 / pnas.95.7.3696 . PMC 19898 . PMID 9520428 ..
- ^ а б Чеонг, Кан Хао; Тан, Цзун Сюань; Се, Нэн-ган; Джонс, Майкл С. (2016-10-14). «Парадоксальный эволюционный механизм в стохастически переключающихся средах» . Научные отчеты . 6 : 34889. Bibcode : 2016NatSR ... 634889C . DOI : 10.1038 / srep34889 . ISSN 2045-2322 . PMC 5064378 . PMID 27739447 .
- ^ а б Тан, Цзун Сюань; Чеонг, Кан Хао (13.01.2017). «Стратегии кочевой и колониальной жизни позволяют парадоксально выживать и расти, несмотря на разрушение среды обитания» . eLife . 6 : e21673. DOI : 10.7554 / eLife.21673 . ISSN 2050-084X . PMC 5319843 . PMID 28084993 .
- ^ Д. Минор, «Парадокс Паррондо - надежда для неудачников!», The College Mathematics Journal 34 (1) (2003) 15-20
- ^ Хармер, GP; Эбботт, Д. (1999). «Парадокс Паррондо» . Статистическая наука . 14 (2): 206–213. DOI : 10,1214 / сс / 1009212247 .
- ↑ GP Harmer, D. Abbott , PG Taylor и JMR Parrondo , in Proc. 2-й Int. Конф. Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Д. Эбботт и Л. Б. Киш , ред., Американский институт физики, 2000 г.
- ^ Хармер, GP; Эбботт, Д .; Тейлор, PG (2000). «Парадокс игр Паррондо». Труды Королевского общества Лондона . 456 (1994): 1–13. Bibcode : 2000RSPSA.456..247H . DOI : 10.1098 / RSPA.2000.0516 .
- ^ Г.П. Хармер, Д. Эбботт , П.Г. Тейлор, СЕМ Пирс и Дж.М.Р. Паррондо, Информационная энтропия и храповик с дискретным временем Паррондо , в Proc. Стохастическая и хаотическая динамика в озерах , Эмблсайд, Великобритания, издательство PVE McClintock , Американский институт физики, 2000 г.
- ↑ Томас К. Филипс и Эндрю Б. Фельдман, Парадокс Паррондо не парадоксален , Рабочие документы исследовательской сети социальных наук (SSRN), август 2004 г.
- ^ Iyengar, R .; Коли, Р. (2004). «Почему парадокс Паррондо не имеет отношения к теории полезности, покупке акций и возникновению жизни». Сложность . 9 (1): 23–27. DOI : 10.1002 / cplx.10112 .
- ^ Победа при поражении : новая стратегия решает парадокс « двух конвертов» на Physorg.com
- ^ Штутцер, Майкл. «Парадокс диверсификации» (PDF) . Проверено 28 августа 2019 .
- ^ Штутцер, Майкл. «Простой парадокс Паррондо» (PDF) . Проверено 28 августа 2019 .
- ^ Вольф, Дениз М .; Вазирани, Виджай В .; Аркин, Адам П. (21 мая 2005 г.). «Разнообразие во времена бедствий: вероятностные стратегии в играх на выживание микробов». Журнал теоретической биологии . 234 (2): 227–253. DOI : 10.1016 / j.jtbi.2004.11.020 . PMID 15757681 .
- ^ Джонс, Майкл С .; Ко, Джин Мин; Чеонг, Кан Хао (2018-06-05). «Выживание многоклеточных как следствие парадокса Паррондо» . Труды Национальной академии наук . 115 (23): E5258 – E5259. DOI : 10.1073 / pnas.1806485115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6003326 . PMID 29752380 .
- ^ Нельсон, Пол; Масел, Джоанна (11 мая 2018 г.). «Ответ Чонгу и др.: Выживание одноклеточных клеток исключает парадокс Паррондо» . Труды Национальной академии наук . 115 (23): E5260. DOI : 10.1073 / pnas.1806709115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6003321 . PMID 29752383 .
- ^ Чеонг, Кан Хао; Ко, Джин Мин; Джонс, Майкл С. (21 февраля 2019 г.). «Арктические зайцы играют в игры Паррондо?». Буквы флуктуации и шума . 18 (3): 1971001. DOI : 10,1142 / S0219477519710019 . ISSN 0219-4775 .
- ^ Ди Крещенцо, Антонио (2007). «Парадокс Паррондо в теории надежности» (PDF) . Ученый-математик . 32 (1): 17–22.
- ^ Хармер, Грегори П .; Эбботт, Дерек (2002-06-01). «Обзор парадокса Паррондо». Буквы флуктуации и шума . 02 (2): R71 – R107. DOI : 10.1142 / S0219477502000701 . ISSN 0219-4775 .
- ^ Эбботт, Дерек (01.03.2010). «Асимметрия и беспорядок: десятилетие парадокса Паррондо». Буквы флуктуации и шума . 09 (1): 129–156. DOI : 10.1142 / S0219477510000010 . ISSN 0219-4775 .
- ^ Чеонг, Кан Хао; Ко, Джин Мин; Джонс, Майкл С. (2019). «Парадоксальное выживание: изучение эффекта Паррондо в биологии». BioEssays . 41 (6): 1900027. DOI : 10.1002 / bies.201900027 . ISSN 1521-1878 . PMID 31132170 .
- ^ Эбботт, Дерек. "Официальная страница парадокса Паррондо" . Университет Аделаиды. Архивировано из оригинального 21 июня 2018 года.
дальнейшее чтение
- Джон Аллен Паулос , математик играет на фондовом рынке , Basic Books, 2004, ISBN 0-465-05481-1 .
- Нил Ф. Джонсон , Пол Джеффрис, Пак Мин Хуэй, Сложность финансового рынка , Oxford University Press, 2003 г., ISBN 0-19-852665-2 .
- Нин Чжун и Цзимин Лю, Технология интеллектуальных агентов: исследования и разработки, World Scientific, 2001 г., ISBN 981-02-4706-0 .
- Элька Коручева и Родольфо Куэрно, Достижения в конденсированных средах и статистической физике , Nova Publishers, 2004, ISBN 1-59033-899-5 .
- Мария Карла Галавотти, Роберто Скацциери и Патрик Суппес, Рассуждение, рациональность и вероятность , Центр изучения языка и информации, 2008 г., ISBN 1-57586-557-2 .
- Дерек Эбботт и Ласло Б. Киш , Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Американский институт физики, 2000 г., ISBN 1-56396-826-6 .
- Визарат Ин, Патрик Лонгини и Антонио Паласиос, Приложения нелинейной динамики: модель и проектирование сложных систем , Springer, 2009, ISBN 3-540-85631-5 .
- Марк Мур, Сорана Фрода и Кристиан Леже, Математическая статистика и приложения: Festschrift for Constance van Eeden , IMS, 2003, ISBN 0-940600-57-9 .
- Эрхард Берендс, Fünf Minuten Mathematik: 100 Beiträge der Mathematik-Kolumne der Zeitung Die Welt , Vieweg + Teubner Verlag, 2006, ISBN 3-8348-0082-1 .
- Лутц Шиманский-Гейер, Шум в сложных системах и стохастическая динамика , SPIE, 2003, ISBN 0-8194-4974-1 .
- Сьюзан Шеннон, Искусственный интеллект и компьютерные науки , Nova Science Publishers, 2005 г., ISBN 1-59454-411-5 .
- Эрик В. Вайсштейн , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2 .
- Дэвид Регера, Хосе М.Г. Вилар и Хосе-Мигель Руби, Статистическая механика биокомплексов , Springer, 1999, ISBN 3-540-66245-6 .
- Сергей М. Безруков , Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Springer, 2003, ISBN 0-7354-0127-6 .
- Джулиан Чела-Флорес , Тобиас С. Оуэн и Ф. Раулин, Первые шаги к происхождению жизни во Вселенной , Springer, 2001 г., ISBN 1-4020-0077-4 .
- Тону Пуу и Ирина Сушко, Динамика бизнес-цикла: модели и инструменты , Springer, 2006 г., ISBN 3-540-32167-5 .
- Анджей С. Новак и Кшиштоф Шайовски, Достижения в динамических играх: приложения к экономике, финансам, оптимизации и стохастическому управлению , Биркхойзер, 2005, ISBN 0-8176-4362-1 .
- Кристель Чандре, Ксавье Леонсини и Джордж М. Заславский, Хаос, сложность и перенос : теория и приложения , World Scientific, 2008, ISBN 981-281-879-0 .
- Ричард А. Эпштейн , Теория азартных игр и статистическая логика (второе издание), Academic Press, 2009, ISBN 0-12-374940-9 .
- Клиффорд А. Пиковер , Книга по математике, Стерлинг, 2009 г., ISBN 1-4027-5796-4 .
Внешние ссылки
- JMR Parrondo, парадоксальные игры Паррондо
- Профилирование парадокса Паррондо в Google Scholar
- Статья в журнале Nature о парадоксе Паррондо
- Альтернативная игра увеличивает выигрыш: это закон
- Официальная страница парадокса Паррондо
- Парадокс Паррондо - Моделирование
- Волшебник разногласий о парадоксе Паррондо
- Парадокс Паррондо в шкафу тщетности
- Парадокс Паррондо в Вольфраме
- Онлайн симулятор Паррондо
- Парадокс Паррондо в Maplesoft
- Дональд Кэтлин о парадоксе Паррондо
- Парадокс Паррондо и покер
- Парадокс Паррондо и эпистемология
- Ресурс парадокса Паррондо
- Оптимальные адаптивные стратегии и Паррондо
- Берендс на Паррондо
- Бог не стреляет в кости
- Парадокс Паррондо в химии
- Парадокс Паррондо в генетике
- Эффект Паррондо в квантовой механике
- Финансовая диверсификация и Паррондо