Регулярность разбиения


Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен из раздела обычный )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В комбинаторике , разделе математики , регулярность разбиения - это одно из понятий размера набора множеств.

Для данного набора набор подмножеств называется регулярным по разбиению, если каждое множество A в коллекции обладает свойством, что независимо от того, как A разбивается на конечное число подмножеств, по крайней мере одно из подмножеств также будет принадлежать набору . То есть для любого и любого конечного разбиения существует i  ≤  n такое, что принадлежит . Теорию Рамсея иногда называют изучением того, какие коллекции являются регулярными по разбиениям.

Примеры

  • набор всех бесконечных подмножеств бесконечного множества X является типичным примером. В этом случае регулярность разбиения утверждает, что каждое конечное разбиение бесконечного множества имеет бесконечную ячейку (т. Е. Принцип бесконечных ячеек ).
  • множества с положительной верхней плотностью в : в верхней плотности от определяются как ( теорема Семереди )
  • Для любого ультрафильтра на множестве , является раздел регулярным: для любого , если , то точно один .
  • множества рекуррентности: множество R целых чисел называется множеством рекуррентности, если для любого сохраняющего меру преобразования вероятностного пространства (Ω, β, μ) и положительной меры существует ненулевое значение, такое что .
  • Назовите подмножество натуральных чисел ap-rich, если оно содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Тогда набор p-богатых подмножеств регулярно разбивается ( Ван дер Варден , 1927).
  • Позвольте быть набор всех n -подмножеств . Пусть . Для каждого n разбиение регулярное. ( Рэмси , 1930).
  • Для каждого бесконечного кардинала , совокупность стационарных множеств в это раздел регулярно. Верно и другое: если он неподвижен, а для некоторых , то некоторые являются стационарными.
  • набор -установок: является -набором, если содержит набор различий для некоторой последовательности .
  • множество барьеров на : называть совокупность конечных подмножеств в барьере , если:
    • а также
    • для всего бесконечного существует такое, что элементы X являются наименьшими элементами I; т.е. и .
Это обобщает теорему Рамсея , поскольку каждая из них является препятствием. ( Нэш-Вильямс , 1965)
  • конечные произведения бесконечных деревьев ( Halpern – Läuchli , 1966)
  • кусочно-синдетические множества (Браун, 1968)
  • Назовите подмножество натуральных чисел ip-богатым, если оно содержит сколь угодно большие конечные множества вместе со всеми их конечными суммами. Тогда набор IP-богатых подмножеств является регулярным по разбиению ( Folkman - Rado –Sanders, 1968).
  • ( m , p , c ) -множества (Deuber, 1973)
  • Наборы IP (Hindman, 1974, см. Также Hindman, Strauss, 1998)
  • MT k наборов для каждого k , т.е. k -наборов конечных сумм (Милликен – Тейлор, 1975)
  • центральные гарнитуры; т.е. членов любого минимального идемпотенту в , в стоун-чеховское целых чисел. (Furstenberg, 1981, см. Также Hindman, Strauss, 1998)

Диофантовы уравнения

Диофантово уравнение называется разбиением регулярным , если совокупность всех бесконечных подмножеств , содержащее решением является раздел регулярной. Теорема Радо характеризует , какие именно системы из линейных диофантовых уравнений с разделами регулярными. В последнее время был достигнут большой прогресс в классификации нелинейных диофантовых уравнений. [1] [2]

использованная литература

  1. ^ Ди Насо, Мауро; Лупери Баглини, Лоренцо (январь 2018 г.). «Рамсеевские свойства нелинейных диофантовых уравнений» . Успехи в математике . 324 : 84–117. arXiv : 1606.02056 . DOI : 10.1016 / j.aim.2017.11.003 . ISSN  0001-8708 .
  2. ^ Барретт, Джордан Митчелл; Лупини, Мартино; Морейра, Джоэл (май 2021 г.). «Об условиях Радо для нелинейных диофантовых уравнений» . Европейский журнал комбинаторики . 94 : 103277. arXiv : 1907.06163 . DOI : 10.1016 / j.ejc.2020.103277 . ISSN 0195-6698 . 
  1. Виталий Бергельсон , Н. Хиндман Регулярные структуры разбиения, содержащиеся в больших множествах, широко распространены J. Comb. Теория А 93 (2001), 18–36.
  2. Т. Браун, Интересный комбинаторный метод в теории локально конечных полугрупп , Pacific J. Math. 36 , нет. 2 (1971), 285–289.
  3. W. Deuber, Mathematische Zeitschrift 133 , (1973) 109–123
  4. Н. Хиндман, конечные суммы из последовательностей внутри ячеек раздела N , J. Comb. Теория А 17 (1974) 1–11.
  5. C.St.JA Нэш-Вильямс , О хорошо квазиупорядоченных трансфинитных последовательностях, Proc. Camb. Фил. Soc. 61 (1965), 33–39.
  6. Н. Хиндман, Д. Штраус, Алгебра в компактификации Стоуна – Чеха, De Gruyter, 1998
  7. Дж. Сандерс, Обобщение теоремы Шура, докторская диссертация, Йельский университет, 1968.
Источник « https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Partition_regularity&oldid=1020831061 »