Регулярность разбиения

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Регулярность разделов»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В комбинаторике , разделе математики , регулярность разбиения - это одно из понятий размера набора множеств.

Для данного набора набор подмножеств называется регулярным по разбиению, если каждое множество A в коллекции обладает свойством, что независимо от того, как A разбивается на конечное число подмножеств, по крайней мере одно из подмножеств также будет принадлежать набору . То есть для любого и любого конечного разбиения существует i  ≤  n такое, что принадлежит . Теорию Рамсея иногда называют изучением того, какие коллекции являются регулярными по разбиениям.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {S} \subset {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle A\in \mathbb {S} }$${\displaystyle A=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$

Примеры

• набор всех бесконечных подмножеств бесконечного множества X является типичным примером. В этом случае регулярность разбиения утверждает, что каждое конечное разбиение бесконечного множества имеет бесконечную ячейку (т. Е. Принцип бесконечных ячеек ).
• множества с положительной верхней плотностью в : в верхней плотности от определяются как ( теорема Семереди )${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {|\{1,2,\ldots ,n\}\cap A|}{n}}.}$
• Для любого ультрафильтра на множестве , является раздел регулярным: для любого , если , то точно один .${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle A\in \mathbb {U} }$${\displaystyle A=C_{1}\sqcup \cdots \sqcup C_{n}}$${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {U} }$
• множества рекуррентности: множество R целых чисел называется множеством рекуррентности, если для любого сохраняющего меру преобразования вероятностного пространства (Ω, β, μ) и положительной меры существует ненулевое значение, такое что .${\displaystyle T}$${\displaystyle A\in \ \beta }$${\displaystyle n\in R}$${\displaystyle \mu (A\cap T^{n}A)>0}$
• Назовите подмножество натуральных чисел ap-rich, если оно содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Тогда набор p-богатых подмножеств регулярно разбивается ( Ван дер Варден , 1927).
• Позвольте быть набор всех n -подмножеств . Пусть . Для каждого n разбиение регулярное. ( Рэмси , 1930).${\displaystyle [A]^{n}}$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\bigcup _{A\subset \mathbb {N} }^{}[A]^{n}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
• Для каждого бесконечного кардинала , совокупность стационарных множеств в это раздел регулярно. Верно и другое: если он неподвижен, а для некоторых , то некоторые являются стационарными.${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\bigcup _{\alpha <\lambda }S_{\alpha }}$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle S_{\alpha }}$
• набор -установок: является -набором, если содержит набор различий для некоторой последовательности .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{s_{m}-s_{n}:m,n\in \mathbb {N} ,n<m\}}$${\displaystyle \langle s_{n}\rangle _{n=1}^{\omega }}$
• множество барьеров на : называть совокупность конечных подмножеств в барьере , если:${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • ${\displaystyle \forall X,Y\in \mathbb {B} ,X\not \subset Y}$ а также
  • для всего бесконечного существует такое, что элементы X являются наименьшими элементами I; т.е. и .${\displaystyle I\subset \cup \mathbb {B} }$${\displaystyle X\in \mathbb {B} }$ ${\displaystyle X\subset I}$${\displaystyle \forall i\in I\setminus X,\forall x\in X,x<i}$

Это обобщает теорему Рамсея , поскольку каждая из них является препятствием. ( Нэш-Вильямс , 1965)${\displaystyle [A]^{n}}$

• конечные произведения бесконечных деревьев ( Halpern – Läuchli , 1966)
• кусочно-синдетические множества (Браун, 1968)
• Назовите подмножество натуральных чисел ip-богатым, если оно содержит сколь угодно большие конечные множества вместе со всеми их конечными суммами. Тогда набор IP-богатых подмножеств является регулярным по разбиению ( Folkman - Rado –Sanders, 1968).
• ( m , p , c ) -множества (Deuber, 1973)
• Наборы IP (Hindman, 1974, см. Также Hindman, Strauss, 1998)
• MT ^k наборов для каждого k , т.е. k -наборов конечных сумм (Милликен – Тейлор, 1975)
• центральные гарнитуры; т.е. членов любого минимального идемпотенту в , в стоун-чеховское целых чисел. (Furstenberg, 1981, см. Также Hindman, Strauss, 1998)${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$

Диофантовы уравнения

Диофантово уравнение называется разбиением регулярным , если совокупность всех бесконечных подмножеств , содержащее решением является раздел регулярной. Теорема Радо характеризует , какие именно системы из линейных диофантовых уравнений с разделами регулярными. В последнее время был достигнут большой прогресс в классификации нелинейных диофантовых уравнений. ^{[1] [2]}${\displaystyle P(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

использованная литература

1. Виталий Бергельсон , Н. Хиндман Регулярные структуры разбиения, содержащиеся в больших множествах, широко распространены J. Comb. Теория А 93 (2001), 18–36.
2. Т. Браун, Интересный комбинаторный метод в теории локально конечных полугрупп , Pacific J. Math. 36 , нет. 2 (1971), 285–289.
3. W. Deuber, Mathematische Zeitschrift 133 , (1973) 109–123
4. Н. Хиндман, конечные суммы из последовательностей внутри ячеек раздела N , J. Comb. Теория А 17 (1974) 1–11.
5. C.St.JA Нэш-Вильямс , О хорошо квазиупорядоченных трансфинитных последовательностях, Proc. Camb. Фил. Soc. 61 (1965), 33–39.
6. Н. Хиндман, Д. Штраус, Алгебра в компактификации Стоуна – Чеха, De Gruyter, 1998
7. Дж. Сандерс, Обобщение теоремы Шура, докторская диссертация, Йельский университет, 1968.