В математике , набор IP представляет собой набор натуральных чисел , который содержит все конечные суммы некоторого бесконечного множества .
Конечные суммы множества D натуральных чисел являются всеми теми числами , которые могут быть получены путем сложения элементов некоторого конечного непустого подмножества D . Множество всех конечных сумм над D часто обозначается как FS ( D ). В более общем смысле, для последовательности натуральных чисел ( n i ) можно рассматривать набор конечных сумм FS (( n i )), состоящий из сумм всех подпоследовательностей конечной длины числа ( n i ).
Набор натуральных чисел является IP - множеством , если существует бесконечное множество D такое , что ФС ( D ) представляет собой подмножество A . Эквивалентно, можно потребовать, чтобы A содержала все конечные суммы FS (( n i )) последовательности ( n i ).
Некоторые авторы дают несколько иное определение наборов IP: они требуют, чтобы FS ( D ) равнялся A, а не просто являлся подмножеством.
Термин IP - набор был придуман Фюрстенберг и Вайс [1] для сокращения « я nfinite одномерный р arallelepiped ». Интуитивно, аббревиатура ИС также может быть расширена до « я дем р otent» [2] (набор является IP - тогда и только тогда , когда он является членом идемпотентного ультрафильтра ).
Теорема Хиндмана
Если это набор IP и , то хотя бы один это набор IP. Это известно как теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах . [3] [4] Другими словами, теорема Хиндмана утверждает, что класс IP-множеств является регулярным по разбиению .
Поскольку набор натуральных чисел сам по себе является IP-набором, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа «раскрашены» n разными цветами; каждое натуральное число получает один и только один из n цветов. Тогда существуют цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, все окрашенные в c , такие, что каждая конечная сумма над D также имеет цвет c .
Теорема Милликена – Тейлора является общим обобщением теорем Хиндмана и Рамсея .
Полугруппы
Определение IP было расширено с подмножеств специальной полугруппы натуральных чисел с добавлением к подмножествам полугрупп и частичных полугрупп в целом. Вариант теоремы Хиндмана верен для произвольных полугрупп. [5] [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Гарри, Фюрстенберг (июль 2014 г.). Рекуррентность в эргодической теории и комбинаторной теории чисел . Принстон, Нью-Джерси. ISBN 9780691615363. OCLC 889248822 .
- ^ Бергельсон, В .; Лейбман, А. (2016). «Наборы больших значений корреляционных функций для полиномиальных кубических конфигураций». Эргодическая теория и динамические системы . 38 (2): 499–522. DOI : 10.1017 / etds.2016.49 . ISSN 0143-3857 . S2CID 31083478 .
- ^ Хиндман, Нил (1974). «Конечные суммы из последовательностей внутри ячеек разбиения N». Журнал комбинаторной теории, Серия А . 17 (1): 1–11. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (74) 90023-5 . hdl : 10338.dmlcz / 127803 .
- ^ Баумгартнер, Джеймс Э (1974). «Краткое доказательство теоремы Хиндмана» . Журнал комбинаторной теории, Серия А . 17 (3): 384–386. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (74) 90103-4 .
- ^ Голаны, Гили; Цабан, Боаз (2013). «Теорема Хиндмана о раскраске в произвольных полугруппах». Журнал алгебры . 395 : 111–120. arXiv : 1303.3600 . DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2013.08.007 . S2CID 11437903 .
- ^ Хиндман, Нил; Штраус, Дона (1998). Алгебра в компактификации Стоуна-Чеха: теория и приложения . Нью-Йорк: Уолтер де Грюйтер. ISBN 311015420X. OCLC 39368501 .
- Виталий Бергельсон , IJH Knutson, R. McCutcheon "Совместное диофантово приближение и VIP-системы " Acta Arith. 116 , Academia Scientiarum Polona, (2005), 13-23.
- Виталий Бергельсон , « Минимальные идемпотенты и эргодическая теория Рамсея », темы динамики и эргодической теории 8–39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310 , Cambridge Univ. Press, Кембридж, (2003)
- Бергельсон, В .; Хиндман, Н. (2001). «Регулярные структуры разбиения, содержащиеся в больших наборах, распространены». J. Comb. ТЕОРИЯ . 93 : 18–36. DOI : 10.1006 / jcta.2000.3061 .Общедоступная копия размещается один из авторов.
- Х. Фюрстенберг , Б. Вайс, "Топологическая динамика и комбинаторная теория чисел", J. Anal. Математика. 34 (1978), стр. 61–85.
- Дж. Маклеод, " Некоторые понятия размера в частичных полугруппах ", Труды по топологии , Vol. 25 (2000), стр. 317–332