Кусочно-синдетический набор

В математике , кусочно - syndeticity это понятие крупности подмножеств натуральных чисел .

Множество называется кусочно синдетичным , если существует конечное подмножество G из таких , что для каждого конечного подмножества F из найдется таким такое , что ${\ Displaystyle S \ подмножество \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle х + F \ подмножество \ bigcup _ {п \ в G} (Sn)}

где . Эквивалентно, S является кусочно-синдетическим, если существует константа b такая, что существуют сколь угодно длинные интервалы, в которых промежутки в S ограничены b . ${\ displaystyle Sn = \ {m \ in \ mathbb {N}: m + n \ in S \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Характеристики

Множество является кусочно-синдетическим тогда и только тогда, когда оно является пересечением синдетического множества и толстого множества .
Если S кусочно-синдетический, то S содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.
Множество S является кусочно синдетичным тогда и только тогда , когда существует некоторую ультрафильтр U , который содержит S и U в самом маленьком двухстороннем идеале , в Камне-чеховском натуральных чисел. ${\ displaystyle \ beta \ mathbb {N}}$
Partition закономерность : если кусочно синдетичная и , то для некоторых , содержит кусочно синдетичное множество. (Браун, 1968) ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S = C_ {1} \ чашка C_ {2} \ чашка ... \ чашка C_ {n}}$ ${\ Displaystyle я \ Leq п}$ ${\ displaystyle C_ {i}}$
Если A и B являются подмножествами , а A и B имеют положительную верхнюю банахову плотность , то является кусочно-синдетическим ^[1] ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle A + B = \ {a + b: a \ in A, b \ in B \}}$