(Нормальная форма) дрожащая рука идеальное равновесие | |
---|---|
Концепции решения в теории игр | |
Отношение | |
Подмножество | Равновесие по Нэшу |
Надмножество | Правильное равновесие |
Значимость | |
Предложено | Райнхард Зельтен |
В теории игр , равновесие дрожащей руки вписано равновесия Нэша из - за Зелтен . [1] Совершенное равновесие дрожащей руки - это равновесие, которое принимает во внимание возможность игры вне равновесия, предполагая, что игроки, «поскользнувшись» или дрожа, могут выбрать непреднамеренные стратегии, хотя и с ничтожно малой вероятностью. .
Определение [ править ]
Сначала определите нарушенную игру . Возмущенная игра - это копия основной игры с ограничением, что разрешается играть только полностью смешанные стратегии. Полностью смешанная стратегия - это смешанная стратегия, в которой каждая стратегия (как чистая, так и смешанная) выполняется с ненулевой вероятностью. Это «дрожащие руки» игроков; иногда они используют другую стратегию, отличную от той, которую они намеревались использовать. Затем определите набор стратегий S (в базовой игре) как идеальный для дрожащих рук, если существует последовательность возмущенных игр, которые сходятся к основной игре, в которой есть серия равновесий по Нэшу , сходящаяся к S.
Примечание. Все полностью смешанные равновесия Нэша идеальны.
Примечание 2: Расширение смешанной стратегии любой конечной игры в нормальной форме имеет по крайней мере одно совершенное равновесие. [2]
Пример [ править ]
Игра, представленная в следующей матрице нормальной формы, имеет два равновесия по Нэшу чистой стратегии , а именно и . Однако идеальна только дрожащая рука.
Оставил | Верно | |
Вверх | 1, 1 | 2, 0 |
Вниз | 0, 2 | 2, 2 |
Дрожащая рука идеальное равновесие |
Предположим, что игрок 1 (игрок ряда) использует смешанную стратегию для .
Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры L составляет:
Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры по стратегии R составляет:
При малых значениях игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на R и максимальный вес на L. По симметрии игрок 1 должен установить минимальный вес на D, если игрок 2 играет смешанную стратегию . Следовательно , дрожащая рука совершенна.
Однако подобный анализ не подходит для профиля стратегии .
Предположим, игрок 2 использует смешанную стратегию . Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры U:
Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры D составляет:
Для всех положительных значений игрок 1 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на D и максимальный вес на U. Следовательно, он не идеален, потому что игрок 2 (и, в силу симметрии, игрок 1) максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняя чаще всего на L, если есть небольшая вероятность ошибки в поведении игрока 1.
Дрожащая рука - идеальное равновесие в играх для двух игроков [ править ]
Для игр 2x2 набор совершенных равновесий с дрожащей рукой совпадает с набором равновесий, состоящих из двух недоминируемых стратегий. В приведенном выше примере мы видим, что равновесие <Вниз, вправо> несовершенно, поскольку левый (слабо) доминирует вправо для Игрока 2, а Вверх (слабо) доминирует Вниз для Игрока 1. [3]
Дрожащая рука - идеальное равновесие в играх с обширной формой [ править ]
Дрожащая рука обширной формы идеальное равновесие | |
---|---|
Концепции решения в теории игр | |
Отношение | |
Подмножество | Совершенное равновесие в подиграх , Идеальное байесовское равновесие , Последовательное равновесие |
Значимость | |
Предложено | Райнхард Зельтен |
Используется для | Игры с расширенной формой |
Есть два возможных способа распространить понятие «совершенство дрожащей руки» на игры с расширенными формами .
- Можно интерпретировать расширенную форму как просто краткое описание игры с нормальной формой и применить концепции, описанные выше, к этой игре с нормальной формой. В результирующих играх с возмущениями каждая стратегия расширенной игры должна выполняться с ненулевой вероятностью. Это приводит к представлению о совершенном равновесии нормальной формы дрожащей руки .
- В качестве альтернативы, можно вспомнить, что дрожание следует интерпретировать как ошибки моделирования, совершаемые игроками с некоторой незначительной вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в том, что игрок сделает другой ход, чем предполагалось, в какой-то момент во время игры. Вряд ли он будет заключаться в том, что игрок выберет другую стратегию, чем предполагалось, то есть неправильный план прохождения всей игры. Чтобы уловить это, можно определить нарушенную игру, потребовав, чтобы каждый ход в каждом информационном наборе выполнялся с ненулевой вероятностью. Пределы равновесия таких нарушенных игр, когда вероятность дрожания стремится к нулю, называются совершенным равновесием с дрожащей рукой экстенсивной формы .
Идеи совершенного равновесия нормальной и обширной дрожащей руки несопоставимы, т. Е. Равновесие в расширенной игре может быть совершенной дрожащей рукой нормальной формы, но не совершенной дрожащей рукой обширной формы, и наоборот. В качестве крайнего примера этого Жан-Франсуа Мертенс привел пример игры с расширенной формой для двух игроков, в которой недопустимо совершенное равновесие с дрожащей рукой с расширенной формой и идеальным равновесием. равновесия для этой игры не пересекаются. [ необходима цитата ]
Совершенное равновесие трясущейся руки экстенсивной формы также является последовательным равновесием . Дрожащая рука нормальной формы совершенное равновесие в расширенной игре может быть последовательной, но не обязательно так. Фактически, совершенное равновесие нормальной формы дрожащей руки не обязательно должно быть совершенным во вспомогательной игре .
Проблемы с совершенством [ править ]
Майерсон (1978) [4] указал, что совершенство зависит от добавления строго доминируемой стратегии, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как правильное равновесие .
Ссылки [ править ]
- ^ Selten, R. (1975). «Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в обширных играх» . Международный журнал теории игр . 4 (1): 25–55. DOI : 10.1007 / BF01766400 .
- ^ Селтен, Р .: Пересмотр концепции совершенства для точек равновесия в обширных играх. Int. J. Теория игр 4, 1975, 25–55.
- ^ Ван Дамм, Эрик (1987). Устойчивость и совершенство равновесий по Нэшу . DOI : 10.1007 / 978-3-642-96978-2 . ISBN 978-3-642-96980-5.
- ^ Майерсон, Роджер Б. "Уточнения концепции равновесия Нэша". Международный журнал теории игр 7.2 (1978): 73-80.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Осборн, Мартин Дж .; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр . MIT Press. С. 246–254. ISBN 9780262650403.