Перидинамика - это формулировка механики сплошных сред , ориентированная на деформации с разрывами, особенно на трещины .
Цель
Теория перидинамики основана на интегральных уравнениях , в отличие от классической теории механики сплошных сред, которая основана на уравнениях в частных производных . Поскольку частные производные не существуют на поверхностях трещин и других сингулярностей , классические уравнения механики сплошной среды не могут применяться напрямую, когда такие особенности присутствуют в деформации . Интегральные уравнения перидинамической теории можно применять напрямую, поскольку они не требуют частных производных.
Возможность применять одни и те же уравнения непосредственно во всех точках математической модели деформирующейся конструкции помогает перидинамическому подходу избежать необходимости в специальных методах механики разрушения . Например, в перидинамике нет необходимости в отдельном законе роста трещины, основанном на коэффициенте интенсивности напряжений .
Определение и основная терминология
Основным уравнением перидинамики является следующее уравнение движения :
где точка в теле , время, - векторное поле смещения , а - плотность массы недеформированного тела. фиктивная переменная интегрирования.
Вектор значных функция это плотность силы, которая оказывает на . Эта плотность силы зависит от векторов относительного смещения и относительного положения между а также . Эти размеры посила на квадрат объема. Функцияназывается «парной силовой функцией» и содержит все определяющие (зависящие от материала) свойства. Он описывает, как внутренние силы зависят от деформации.
Взаимодействие между любыми а также называется «облигацией». Физический механизм этого взаимодействия указывать не нужно. Обычно предполагается, что исчезает всякий раз, когда находится за пределами района (в недеформированной конфигурации) называется горизонтом.
Термин «перидинамический», прилагательное, был предложен в 2000 году и происходит от приставки пери, что означает все вокруг , рядом или окружающее ; и корень дина , что означает сила или мощь. Термин «перидинамика», существительное, является сокращенной формой фразы « перидинамическая модель механики твердого тела».
Парные силовые функции
Использование сокращенных обозначений а также Третий закон Ньютона накладывает следующее ограничение на:
для любой . Это уравнение утверждает, что вектор плотности силы, который оказывает на равно минус вектор плотности силы, который оказывает на . Баланс момента количества движения требует, чтобы быть параллельным вектору, связывающему деформированное положение в деформированное положение :
Парная силовая функция задается графиком против удлинения связи , определяется
Схема парной силовой функции для связи, соединяющей две типичные точки, показана на следующем рисунке:
Повреждать
Повреждение включается в функцию парной силы, позволяя связям разрываться, когда их удлинение превышает некоторое предписанное значение. После разрыва связи она больше не выдерживает никакой силы, и конечные точки фактически отсоединяются друг от друга. Когда связь разрывается, сила, которую она несла, перераспределяется на другие облигации, которые еще не разорвались. Эта повышенная нагрузка делает более вероятным разрыв этих других связей. Процесс разрыва связи и перераспределения нагрузки, ведущего к дальнейшему разрыву, - это то, как растут трещины в перидинамической модели.
Перидинамические состояния
Описанная выше теория предполагает, что каждая перидинамическая связь реагирует независимо от всех остальных. Это чрезмерное упрощение для большинства материалов и приводит к ограничениям на типы материалов, которые можно моделировать. В частности, это предположение подразумевает, что любое изотропное линейное упругое тело ограничено коэффициентом Пуассона 1/4.
Чтобы восполнить этот недостаток общности, была введена идея «перидинамических состояний». Это позволяет плотности силы в каждой связке зависеть от растяжений во всех связях, связанных с ее конечными точками, в дополнение к ее собственному растяжению. Например, сила облигации может зависеть от изменений чистого объема в конечных точках. Эффект этого изменения объема по сравнению с эффектом растяжения связи определяет коэффициент Пуассона. С помощью перидинамических состояний любой материал, который можно моделировать в рамках стандартной теории механики сплошных сред, можно моделировать как перидинамический материал, сохраняя при этом преимущества перидинамической теории разрушения.
Подробное обсуждение интегральной формы уравнений механики твердого тела и ограничений на форму ядра можно найти в книге И.А.Кунина «Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. 1975 с. Кунин И.А. Упругие среды с микроструктурой I. Одномерные модели (Берлин, Springer, 1982); Кунин И.А. Упругие среды с микроструктурой. II. Трехмерные модели (Springer, Berlin, 1983) (на английском языке).