Уравнения , определяющие линейную упругую краевую основаны на три тензорных дифференциальных уравнений с частными для баланса импульса и шесть деформации бесконечно малого - смещения отношений. Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейных алгебраических определяющих соотношений .
Прямая тензорная форма
В прямой тензорной форме, которая не зависит от выбора системы координат, эти основные уравнения имеют следующий вид: [1]
- Материальные уравнения . Для эластичных материалов закон Гука представляет поведение материала и связывает неизвестные напряжения и деформации. Общее уравнение для закона Гука имеет вид
где - тензор напряжений Коши ,- тензор бесконечно малых деформаций ,- вектор смещения ,- тензор жесткости четвертого порядка , - объемная сила на единицу объема, - массовая плотность, представляет оператор набла ,представляет собой транспонирование , представляет вторую производную по времени, а является скалярным произведением двух тензоров второго порядка (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).
Декартова форма координат
- Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.
Выраженные в терминах компонентов по отношению к прямоугольной декартовой системе координат , основные уравнения линейной упругости следующие: [1]
Инженерная нотация |
---|
|
- где нижний индекс - это сокращение для а также указывает , - тензор напряжений Коши , это телесные силы, - массовая плотность, а это смещение.
- Это 3 независимых уравнения с 6 независимыми неизвестными (напряжениями).
Инженерная нотация |
---|
| |
| |
| |
- где это напряжение. Это 6 независимых уравнений, связывающих деформации и смещения с 9 независимыми неизвестными (деформации и смещения).
- где - тензор жесткости. Это 6 независимых уравнений, связывающих напряжения и деформации. Требование симметрии тензоров напряжений и деформаций приводит к равенству многих упругих постоянных, уменьшая количество различных элементов до 21 [2].
Упругостатическая краевая задача для изотропно-однородной среды представляет собой систему из 15 независимых уравнений и равного числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации-смещения и 6 определяющих уравнений). Задав граничные условия, краевая задача полностью определена. Для решения системы можно использовать два подхода в соответствии с граничными условиями краевой задачи: формулировку смещения и формулировку напряжения .
Цилиндрическая форма координат
В цилиндрических координатах () уравнения движения [1]
Соотношения деформации-смещения:
и определяющие соотношения такие же, как в декартовых координатах, за исключением того, что индексы ,, теперь стоять за ,,, соответственно.
Сферическая координатная форма
В сферических координатах () уравнения движения [1]
Сферические координаты (
r ,
θ ,
φ ), обычно используемые в
физике : радиальное расстояние
r , полярный угол
θ (
тета ) и азимутальный угол
φ (
фи ). Вместо
r часто используется символ
ρ (
rho ) .
Тензор деформации в сферических координатах имеет вид
В изотропных средах тензор жесткости дает соотношение между напряжениями (результирующими внутренними напряжениями) и деформациями (результирующими деформациями). Для изотропной среды тензор жесткости не имеет предпочтительного направления: приложенная сила будет давать одинаковые смещения (относительно направления силы) независимо от направления приложения силы. В изотропном случае тензор жесткости можно записать:
- [ необходима цитата ]
где - дельта Кронекера , K - объемный модуль (или несжимаемость), а- модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если среда неоднородна, изотропная модель имеет смысл, если среда либо кусочно-постоянная, либо слабо неоднородная; в сильно неоднородной гладкой модели необходимо учитывать анизотропию. Если среда однородна , то модули упругости не будут зависеть от положения в среде. Материальное уравнение теперь можно записать как:
Это выражение разделяет напряжение на скалярную часть слева, которая может быть связана со скалярным давлением, и бесследную часть справа, которая может быть связана с поперечными силами. Более простое выражение: [3]
- [4]
где λ - первый параметр Ламе . Поскольку определяющее уравнение представляет собой просто набор линейных уравнений, деформация может быть выражена как функция напряжений как: [5]
что опять же, скалярная часть слева и бесследная часть сдвига справа. Проще:
где является коэффициент Пуассона и- модуль Юнга .
Эластостатика
Эластостатика - это исследование линейной упругости в условиях равновесия, при котором все силы, действующие на упругое тело, в сумме равны нулю, а смещения не являются функцией времени. Тогда уравнения равновесия имеют вид
Технические обозначения (тау - напряжение сдвига ) |
---|
|
В этом разделе будет обсуждаться только изотропный однородный случай.
Формулировка смещения
В этом случае перемещения задаются всюду на границе. В этом подходе деформации и напряжения исключаются из формулировки, оставляя смещения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. Во-первых, уравнения деформации-смещения подставляются в основные уравнения (закон Гука), исключая деформации как неизвестные:
Дифференцируя (при условии а также пространственно однородны) дает:
Подстановка в уравнение равновесия дает:
или (замена двойных (фиктивных) (= суммирование) индексов k, k на j, j и замена индексов с ij на ji после, в силу теоремы Шварца )
где а также являются параметры Ламе . Таким образом, остаются неизвестными только смещения, отсюда и название этой формулировки. Основные уравнения, полученные таким образом, называются уравнениями упругости , частным случаем уравнений Навье – Коши, приведенных ниже.
Вывод уравнений Навье – Коши в технических обозначениях. |
---|
Во-первых, -направление будет рассмотрено. Подставляя уравнения деформации-смещения в уравнение равновесия в-направление у нас
Затем подставляя эти уравнения в уравнение равновесия в -направление у нас
Используя предположение, что а также постоянны, мы можем переставить и получить:
Следуя той же процедуре для -направление и -направление у нас
Эти последние 3 уравнения представляют собой уравнения Навье – Коши, которые также могут быть выражены в векторной записи как
|
После того, как поле смещения вычислено, смещения могут быть заменены уравнениями деформации-смещения для решения деформаций, которые позже используются в определяющих уравнениях для определения напряжений.
Бигармоническое уравнение
Уравнение упругости можно записать:
Принимая во внимание расходимость обеих частей уравнения упругости и предполагая, что объемные силы имеют нулевую расходимость (однородны в области) () у нас есть
Отмечая, что суммированные индексы не обязательно должны совпадать и что частные производные коммутируют, два дифференциальных члена считаются одинаковыми, и мы имеем:
из чего заключаем, что:
Взяв лапласиан обеих частей уравнения упругости и дополнив допущение, у нас есть
В уравнении дивергенции первый член слева равен нулю (примечание: опять же, суммированные индексы могут не совпадать), и мы имеем:
из чего заключаем, что:
или в безкоординатной записи которое является просто бигармоническим уравнением в.
Формулировка стресса
В этом случае поверхностные тяги задаются всюду на границе поверхности. В этом подходе деформации и смещения устраняются, оставляя напряжения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. После того, как поле напряжений найдено, деформации затем находятся с использованием определяющих уравнений.
Необходимо определить шесть независимых компонентов тензора напряжений, однако в формулировке смещения необходимо определить только три компонента вектора смещения. Это означает, что на тензор напряжений должны быть наложены некоторые ограничения, чтобы уменьшить количество степеней свободы до трех. Используя определяющие уравнения, эти ограничения выводятся непосредственно из соответствующих ограничений, которые должны выполняться для тензора деформации, который также имеет шесть независимых компонентов. Ограничения на тензор деформации выводятся непосредственно из определения тензора деформации как функции векторного поля смещения, что означает, что эти ограничения не вводят никаких новых концепций или информации. Наиболее легко понять ограничения на тензор деформации. Если упругая среда визуализируется как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после того, как среда деформируется, произвольный тензор деформации должен давать ситуацию, в которой искаженные кубы все еще подходят друг к другу без перекрытия. Другими словами, для данной деформации должно существовать непрерывное векторное поле (смещение), из которого может быть получен этот тензор деформации. Ограничения на тензор деформации, которые требуются, чтобы гарантировать, что это так, были обнаружены Сен-Венаном и называются « уравнениями совместимости Сен-Венана ». Это 81 уравнение, 6 из которых являются независимыми нетривиальными уравнениями, связывающими различные компоненты деформации. Они выражаются в индексных обозначениях как:
Инженерная нотация |
---|
|
Затем деформации в этом уравнении выражаются через напряжения с использованием определяющих уравнений, что дает соответствующие ограничения на тензор напряжений. Эти ограничения на тензор напряжений известны как уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла :
В особой ситуации, когда объемная сила однородна, приведенные выше уравнения сводятся к
- [6]
Необходимым, но недостаточным условием совместимости в этой ситуации является или же . [1]
Эти ограничения вместе с уравнением равновесия (или уравнением движения для эластодинамики) позволяют вычислить поле тензора напряжений. После того, как поле напряжений было вычислено из этих уравнений, деформации могут быть получены из определяющих уравнений, а поле смещения - из уравнений деформации-смещения.
Альтернативный метод решения состоит в том, чтобы выразить тензор напряжений через функции напряжения, которые автоматически дают решение уравнения равновесия. Тогда функции напряжения подчиняются одному дифференциальному уравнению, которое соответствует уравнениям совместимости.
Решения для эластостатических случаев
Решение Томсона - точечная сила в бесконечной изотропной среде |
---|
Наиболее важное решение уравнения Навье – Коши или уравнения упругости - это решение силы, действующей в точке в бесконечной изотропной среде. Это решение было найдено Уильямом Томсоном (позднее лордом Кельвином) в 1848 году (Thomson 1848). Это решение является аналогом закона Кулона в электростатике . Вывод дан у Ландау и Лифшица. [7] : §8 Определение
где - коэффициент Пуассона, решение может быть выражено как
где - вектор силы, приложенный к точке, и - тензорная функция Грина, которую можно записать в декартовых координатах как:
Его также можно компактно записать как:
и это может быть явно записано как:
В цилиндрических координатах () его можно записать как:
где r - общее расстояние до точки. Особенно полезно записать смещение в цилиндрических координатах для точечной силы направлен по оси z. Определение а также как единичные векторы в а также направления соответственно дает:
Можно видеть, что есть составляющая смещения в направлении силы, которая уменьшается, как и в случае с потенциалом в электростатике, как 1 / r для больших r. Также имеется дополнительная ρ-направленная компонента. |
Решение Буссинеска – Черрути - точечная сила в начале бесконечного изотропного полупространства |
---|
Другое полезное решение - это точечная сила, действующая на поверхность бесконечного полупространства. Он был получен Буссинеском [8] для нормальной силы и Черрути для тангенциальной силы, а вывод приведен у Ландау и Лифшица. [7] : §8. В этом случае решение снова записывается в виде тензора Грина, стремящегося к нулю на бесконечности, и составляющая тензора напряжений, нормальная к поверхности, обращается в нуль. Это решение может быть записано в декартовых координатах как [примечание: a = (1-2ν) и b = 2 (1-ν), ν == коэффициент Пуассона]:
|
Другие решения:
- Точечная сила внутри бесконечного изотропного полупространства. [9]
- Точечная сила на поверхности изотропного полупространства. [6]
- Контакт двух упругих тел: решение Герца (см. Код Matlab ). [10] См. Также страницу о механике контакта .
Эластодинамика с точки зрения перемещений
Эластодинамика изучает упругие волны и включает линейную упругость с изменением во времени. Упругая волна представляет собой тип механической волны , которая распространяется в упругих или вязкоупругих материалах. Эластичность материала обеспечивает возвращающую силу волны. Когда они возникают на Земле в результате землетрясения или другого возмущения, упругие волны обычно называют сейсмическими волнами .
Уравнение количества движения - это просто уравнение равновесия с дополнительным инерционным членом:
Если материал подчиняется анизотропному закону Гука (с однородным по всему материалу тензором жесткости), получается уравнение смещения эластодинамики :
Если материал изотропный и однородный, получается уравнение Навье – Коши :
Уравнение упругодинамической волны также может быть выражено как
где
- акустический дифференциальный оператор , а- дельта Кронекера .
В изотропных средах тензор жесткости имеет вид
где - объемный модуль (или несжимаемость), а- модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если материал однороден (т. Е. Тензор жесткости постоянен по всему материалу), акустический оператор принимает следующий вид:
Для плоских волн указанный выше дифференциальный оператор становится акустическим алгебраическим оператором :
где
являются собственными изс собственными векторами параллельно и ортогонально направлению распространения , соответственно. Связанные волны называются продольными и поперечными упругими волнами. В сейсмологической литературе соответствующие плоские волны называются P-волнами и S-волнами (см. Сейсмические волны ).
Эластодинамика с точки зрения напряжений
Исключение смещений и деформаций из основных уравнений приводит к уравнению эластодинамики Игначака [11]
В случае локальной изотропии это сводится к
Основные характеристики этой формулировки включают: (1) избегает градиентов податливости, но вводит градиенты массовой плотности; (2) выводится из вариационного принципа; (3) это полезно для решения начально-краевых задач тяги, (4) позволяет тензорную классификацию упругих волн, (5) предлагает ряд приложений в задачах распространения упругих волн; (6) можно распространить на динамику классических или микрополярных твердых тел с взаимодействующими полями различных типов (термоупругие, насыщенные флюидом пористые, пьезоэлектроупругие ...), а также нелинейные среды.
Для анизотропных сред тензор жесткости сложнее. Симметрия тензора напряженийозначает, что существует не более 6 различных элементов стресса. Точно так же существует не более 6 различных элементов тензора деформации. Отсюда тензор жесткости четвертого порядка можно записать в виде матрицы (тензор второго порядка). Обозначение Фойгта является стандартным отображением для тензорных индексов,
В этих обозначениях матрицу упругости для любой линейно-упругой среды можно записать в виде:
Как показано, матрица является симметричным, это результат существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет . Следовательно, существует не более 21 различных элементов.
Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента:
В простейшем анизотропном случае кубической симметрии есть 3 независимых элемента:
Случай поперечной изотропии , также называемой полярной анизотропией (с одной осью (3-осью) симметрии), имеет 5 независимых элементов:
Когда поперечная изотропия мала (т.е. близка к изотропии), для формул для волновых скоростей удобна альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена .
Корпус ортотропии (симметрия кирпича) имеет 9 независимых элементов:
Эластодинамика
Уравнение упругодинамической волны для анизотропных сред можно представить в виде
где
- акустический дифференциальный оператор , а- дельта Кронекера .
Плоские волны и уравнение Кристоффеля
Плоская волна имеет вид
с участием единицы длины. Это решение волнового уравнения с нулевым воздействием, если и только если а также составляют пару собственное значение / собственный вектор акустического алгебраического оператора
Это условие распространения (также известное как уравнение Кристоффеля ) можно записать как
где обозначает направление распространения и - фазовая скорость.