В геометрии конфигурация Перлеса - это конфигурация из 9 точек и 9 линий, которые могут быть реализованы на евклидовой плоскости, но для каждой реализации есть по крайней мере одно иррациональное число в качестве одной из координат. Однако это не проективная конфигурация , потому что не все ее точки и линии имеют одинаковое количество инцидентностей друг с другом. Он был представлен Мишей Перлесом в 1960-х годах. [1]
Это не первый известный пример иррациональной конфигурации точек и линий. Мак Лейн (1936) описывает пример из 11 пунктов, полученный путем применения алгебры бросков фон Штаудта для построения конфигурации, соответствующей квадратному корню из двух . [2]
Конструкция из правильного пятиугольника [ править ]
Один из способов построения конфигурации Перлеса - начать с правильного пятиугольника и его пяти диагоналей, которые образуют стороны меньшего правильного пятиугольника внутри исходного. Девять точек конфигурации состоят из четырех из пяти вершин каждого пятиугольника и общего центра двух пятиугольников; две недостающие вершины пятиугольника выбраны так, чтобы они были коллинеарны центру. Девять линий конфигурации состоят из пяти линий, которые являются диагоналями внешнего пятиугольника и сторонами внутреннего пятиугольника, и четырех линий, которые проходят через центр и через соответствующие пары вершин двух пятиугольников.
Проективная инвариантность [ править ]
Каждая реализация этой конфигурации в реальной проективной плоскости эквивалентна при проективном преобразовании реализации, построенной таким образом из правильного пятиугольника. Следовательно, в каждой реализации есть четыре точки, имеющие то же поперечное отношение, что и поперечное отношение четырех коллинеарных точек в реализации, полученной из правильного пятиугольника. Но эти четыре точки имеют в качестве перекрестного отношения, где - золотое сечение , иррациональное число. Каждые четыре коллинеарных точки с рациональными координатами имеют рациональное поперечное отношение, поэтому конфигурация Перлеса не может быть реализована с помощью рациональных точек. Бранко Грюнбаумпредположил, что каждая конфигурация, которая может быть реализована с помощью иррациональных, но не рациональных чисел, имеет не менее девяти точек; в таком случае конфигурация Перлеса была бы наименьшей возможной иррациональной конфигурацией точек и линий. [3]
Применение в полиэдральной комбинаторике [ править ]
Перлес использовал свою конфигурацию, чтобы построить восьмимерный выпуклый многогранник с двенадцатью вершинами, который аналогичным образом может быть реализован с реальными координатами, но не с рациональными координатами. Точки конфигурации, три из них в два раза и с признаками , связанными с каждой точкой, образуют Gale диаграмму из многогранника Perles . Доказательство Эрнста Стейница теоремы Стейница можно использовать, чтобы показать, что любой трехмерный многогранник может быть реализован с рациональными координатами, но теперь известно, что существуют иррациональные многогранники в четырех измерениях. Однако многогранник Перлеса имеет наименьшее количество вершин среди всех известных иррациональных многогранников. [4]
Заметки [ править ]
Ссылки [ править ]
- Бергер, Марсель (2010), «I.4 Три конфигурации аффинной плоскости и то, что с ними произошло: Папп, Дезарг и Перлес», Открытая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 17–23, DOI : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, Руководство по ремонту 2724440
- Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Graduate Texts in Mathematics, 221 (Second ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 93–95, ISBN 978-0-387-00424-2, MR 1976856 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Mac Lane, Saunders (1936), "Некоторые интерпретации абстрактной линейной зависимости с точки зрения проективной геометрии", Американский журнал математики , 58 (1): 236-240, DOI : 10,2307 / 2371070 , JSTOR 2371070 , MR 1507146
- Циглер, Гюнтер М. (2008), «Нерациональные конфигурации, многогранники и поверхности», The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 36–42, arXiv : 0710.4453 , doi : 10.1007 / BF02985377 , MR 2437198
