В математике , то сохранение ряда есть число раз нужно применить данную операцию в целое число до достижения неподвижной точки , при которой операции больше не приводит к изменению числа.
Обычно это включает в себя аддитивное или мультипликативное сохранение целого числа, то есть то, как часто нужно заменять число суммой или произведением его цифр, пока не дойдет до единственной цифры. Поскольку числа разбиты на свои цифры, аддитивная или мультипликативная стойкость зависит от системы счисления . В оставшейся части этой статьи предполагается десятичная основа.
Однозначное конечное состояние, достигаемое в процессе вычисления аддитивной стойкости целого числа, является его цифровым корнем . Другими словами, аддитивная стойкость числа подсчитывает, сколько раз мы должны суммировать его цифры, чтобы получить его цифровой корень.
Аддитивная настойчивость числа 2718 равна 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, а затем 1 + 8 = 9. Мультипликативная настойчивость числа 39 равна 3, потому что требуется три шага, чтобы уменьшить 39 до одного. цифра: 39 → 27 → 14 → 4. Кроме того, 39 - это наименьшее число мультипликативной персистентности 3.
Наименьшие числа данной мультипликативной настойчивости [ править ]
Считается, что для системы счисления 10 не существует числа с мультипликативной устойчивостью> 11: это, как известно, верно для чисел до 10 20000 . [1] [2] Наименьшие числа с постоянством 0, 1, ...:
Поиск этих чисел можно ускорить, используя дополнительные свойства десятичных разрядов этих рекордных чисел. Эти цифры должны быть отсортированы, и, за исключением первых двух цифр, все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. Основываясь на этих ограничениях, количество кандидатов в n- значные числа с рекордной стойкостью пропорционально только квадрату n , крошечной доле всех возможных n- значных чисел. Однако любое число, которое отсутствует в приведенной выше последовательности, будет иметь мультипликативную постоянство> 11; Считается, что таких чисел не существует, и они должны были бы состоять из более чем 20 000 цифр, если они существуют. [1]
Наименьшие числа данной аддитивной стойкости [ править ]
Однако аддитивная стойкость числа может стать сколь угодно большой (доказательство: для данного числа устойчивость числа, состоящего из повторений цифры 1, на 1 больше, чем у ). Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1, ...:
Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10 2 × (10 22 - 1) / 9 - 1 (то есть 1, за которой следует 2222222222222222222222 9). Для любого фиксированного основания сумма цифр числа пропорциональна его логарифму ; следовательно, аддитивная стойкость пропорциональна повторному логарифму . Подробнее об аддитивной стойкости числа можно прочитать здесь .
Некоторые функции допускают сохранение только до определенной степени.
Например, функция, которая принимает минимальную цифру, допускает сохранение только 0 или 1, когда вы либо начинаете, либо переходите к однозначному числу.
Математический портал