Модель фазового поля - это математическая модель для решения межфазных задач. В основном это применялось к динамике затвердевания [1], но также применялось и к другим ситуациям, таким как вязкое прикосновение , [2] механика разрушения , [3] [4] [5] [6] водородное охрупчивание , [7] и динамика пузырьков. [8]
В этом методе граничные условия на границе раздела заменяются уравнением в частных производных для эволюции вспомогательного поля (фазового поля), которое играет роль параметра порядка . Это фазовое поле принимает два различных значения (например, +1 и -1) в каждой из фаз с плавным изменением между обоими значениями в зоне вокруг границы раздела, которая затем размывается с конечной шириной. Дискретное расположение интерфейса может быть определено как совокупность всех точек, в которых фазовое поле принимает определенное значение (например, 0).
Модель фазового поля обычно строится таким образом, что в пределе бесконечно малой ширины границы раздела (так называемый предел резкой границы раздела) восстанавливается правильная межфазная динамика. Этот подход позволяет решить проблему путем интегрирования набора дифференциальных уравнений в частных производных для всей системы, что позволяет избежать явной обработки граничных условий на границе раздела.
Модели фазового поля были впервые введены Фиксом [9] и Лангером [10] и испытывают растущий интерес к кристаллизации и другим областям.
Уравнения модели фазового поля.
Модели фазового поля обычно строятся для того, чтобы воспроизвести заданную межфазную динамику. Например, в задачах затвердевания динамика фронта задается уравнением диффузии для концентрации или температуры в объеме и некоторыми граничными условиями на границе раздела (условие локального равновесия и закон сохранения) [11], которые составляют модель резкой границы раздела. .
Ряд формулировок модели фазового поля основан на функции свободной энергии, зависящей от параметра порядка (фазовое поле) и диффузного поля (вариационные постановки). Уравнения модели затем получаются с использованием общих соотношений статистической физики . Такая функция построена из физических соображений, но содержит параметр или комбинацию параметров, связанных с шириной интерфейса. Затем параметры модели выбираются путем изучения предела модели с этой шириной, стремящейся к нулю, таким образом, чтобы можно было идентифицировать этот предел с предполагаемой моделью резкого интерфейса.
Другие формулировки начинаются с написания непосредственно уравнений фазового поля, без ссылки на какой-либо термодинамический функционал (безвариационные формулировки). В этом случае единственной ссылкой является модель резкой границы раздела в том смысле, что она должна быть восстановлена при выполнении ограничения на малую ширину границы раздела модели фазового поля.
Уравнения фазового поля в принципе воспроизводят межфазную динамику, когда ширина границы раздела мала по сравнению с наименьшим масштабом длины в задаче. При затвердевании эта шкала представляет собой длину капилляра., который представляет собой микроскопический масштаб. С вычислительной точки зрения интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных, разрешающих такой малый масштаб, недопустимо. Однако Карма и Раппель ввели предел тонкой границы раздела [12], который позволил ослабить это условие и открыл путь к практическому количественному моделированию с моделями фазового поля. С ростом мощности компьютеров и теоретическим прогрессом в моделировании фазового поля модели фазового поля стали полезным инструментом для численного моделирования межфазных проблем.
Вариационные формулировки
Модель фазового поля может быть построена с помощью физических аргументов, если имеется явное выражение для свободной энергии системы. Вот простой пример проблем отверждения:
где - фазовое поле, , - локальная энтальпия на единицу объема, является некоторой полиномиальной функцией от , а также (где это скрытое тепло , - температура плавления, а - теплоемкость). Срок ссоответствует межфазной энергии. Функция обычно принимают за двухъямный потенциал, описывающий плотность свободной энергии основной массы каждой фазы, которые сами соответствуют двум минимумам функции . Константы а также имеют соответственно измерения энергии на единицу длины и энергии на единицу объема. Ширина интерфейса тогда определяется выражением. Тогда модель фазового поля может быть получена из следующих вариационных соотношений: [13]
где D - коэффициент диффузии переменной, а также а также являются стохастическими членами, учитывающими тепловые флуктуации (и чьи статистические свойства могут быть получены из теоремы о диссипации флуктуаций ). Первое уравнение дает уравнение для эволюции фазового поля, а второе - уравнение диффузии, которое обычно переписывается для температуры или для концентрации (в случае сплава). Эти уравнения: масштабирование пространства с помощью и времена с :
где - безразмерная ширина границы раздела, , а также , безразмерные шумы.
Альтернативные функции плотности энергии
Выбор функции свободной энергии, , может существенно повлиять на физическое поведение интерфейса, и его следует выбирать с осторожностью. Двухъямная функция представляет собой аппроксимацию уравнения состояния Ван-дер-Ваальса вблизи критической точки и исторически использовалась из-за простоты реализации, когда модель фазового поля используется исключительно для целей отслеживания границы раздела фаз. Но это привело к часто наблюдаемому явлению самопроизвольной усадки капель, когда высокая фазовая смешиваемость, предсказываемая уравнением состояния вблизи критической точки, допускает значительное взаимопроникновение фаз и может в конечном итоге привести к полному исчезновению капли, радиус которой меньше некоторого критическое значение. [14] Минимизация воспринимаемых потерь непрерывности в течение продолжительности моделирования требует ограничений на параметр подвижности, что приводит к тонкому балансу между размытием поверхности раздела из-за конвекции, реконструкцией границы раздела из-за минимизации свободной энергии (то есть диффузия на основе подвижности) и взаимопроникновения фаз. , также зависит от мобильности. В недавнем обзоре альтернативных функций плотности энергии для приложений слежения за границами была предложена модифицированная форма функции двойного препятствия, которая позволяет избежать явления спонтанного сжатия капли и ограничения подвижности [15], при этом сравнительные результаты обеспечивают ряд эталонных имитаций с использованием двухлуночная функция и техника резкой границы раздела объема жидкости . Предложенная реализация имеет вычислительную сложность лишь немного выше, чем у функции двойной лунки, и может оказаться полезной для приложений отслеживания интерфейса модели фазового поля, где продолжительность / природа моделируемых явлений вводит проблемы непрерывности фазы (т. Е. Небольшие капли , расширенное моделирование, несколько интерфейсов и т. д.).
Резкий интерфейсный предел уравнений фазового поля
Модель фазового поля может быть построена для целенаправленного воспроизведения заданной межфазной динамики, представленной четкой моделью межфазной границы. В таком случае должен выполняться резкий граничный предел (т.е. предел, когда ширина интерфейса стремится к нулю) из предложенной системы уравнений фазового поля. Этот предел обычно берется асимптотическим разложением полей модели по ширине интерфейса. Эти расширения выполняются как в межфазной области (внутреннее расширение), так и в объеме (внешнее расширение), а затем асимптотически согласовываются по порядку. Результат дает уравнение в частных производных для диффузного поля и ряд граничных условий на границе раздела, которые должны соответствовать модели резкой границы раздела, и сравнение которых с ней дает значения параметров модели фазового поля.
Тогда как в ранних моделях фазового поля такие разложения выполнялись до нижнего порядка в только в более поздних моделях используется асимптотика более высокого порядка (тонкие границы интерфейса), чтобы отменить нежелательные ложные эффекты или включить в модель новую физику. Например, этот метод позволил отменить кинетические эффекты [12], чтобы обработать случаи с неодинаковой диффузией в фазах, [16], чтобы смоделировать вязкую аппликатуру [2] и двухфазные потоки Навье – Стокса, [17], чтобы включить флуктуации в модели [18] и т. д.
Модели многофазного поля
В моделях многофазного поля микроструктура описывается набором параметров порядка, каждый из которых связан с определенной фазой или кристаллографической ориентацией. Эта модель в основном используется для фазовых превращений в твердом состоянии, при которых эволюционирует несколько зерен (например, рост зерен , рекристаллизация или превращение первого порядка, такое как аустенит в феррит в ферритовых сплавах). Помимо возможности описания множества зерен в микроструктуре, модели многофазного поля особенно позволяют учитывать множественные термодинамические фазы, встречающиеся, например, в технических сплавах. [19]
Модели фазового поля на графиках
Многие результаты для моделей континуального фазового поля имеют дискретные аналоги для графов, просто заменяя исчисление исчислением на графах .
Моделирование фазового поля в механике разрушения
Разрушение твердых тел часто анализируется численно в контексте конечных элементов с использованием либо дискретных, либо диффузных представлений трещин. Подходы, использующие представление конечных элементов, часто используют сильные неоднородности, встроенные на внутриэлементном уровне, и часто требуют дополнительных критериев, основанных, например, на напряжениях, плотности энергии деформации или скорости выделения энергии или других специальных обработках, таких как методы виртуального закрытия трещин и повторное зацепление определить пути трещин. Напротив, подходы, использующие представление диффузной трещины, сохраняют непрерывность поля смещения, например, модели разрушения континуума и теории разрушения фазового поля. Последнее восходит к переформулировке принципа Гриффитса в вариационной форме и имеет сходство с моделями повреждений, усиленных градиентом. Возможно, наиболее привлекательной характеристикой подходов к разрушению фазового поля является то, что зарождение трещины и траектория трещины автоматически получаются из задачи минимизации, которая объединяет энергии упругости и разрушения. При использовании метода фазового поля зарождение и рост трещин происходят в местах с высокой плотностью энергии деформации. [20]
Программное обеспечение
- PACE3D - Parallel Algorithms for Crystal Evolution in 3D - это пакет параллельного моделирования фазового поля, включающий многофазные многокомпонентные преобразования, крупномасштабные зернистые структуры и связь с потоком жидкости, упругие, пластические и магнитные взаимодействия. Он разработан в Университете прикладных наук Карлсруэ и Технологическом институте Карлсруэ.
- Проект моделирования мезомасштабной микроструктуры (MMSP) представляет собой набор классов C ++ для моделирования микроструктуры на основе сетки.
- Программное обеспечение для моделирования MICRostructure Evolution (MICRESS) - это многокомпонентный пакет моделирования многофазного поля, связанный с термодинамическими и кинетическими базами данных. Он разработан и поддерживается ACCESS eV.
- MOOSE - массивно-параллельная мультифизическая структура конечных элементов C ++ с открытым исходным кодом и поддержкой моделирования фазового поля, разработанная в Национальной лаборатории штата Айдахо.
- PhasePot - это инструмент моделирования микроструктуры на базе Windows, использующий комбинацию моделей фазового поля и Монте-Карло Поттса.
- OpenPhase - это программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования формирования микроструктуры в системах, претерпевающих фазовое преобразование первого порядка, на основе модели многофазного поля.
- mef90 / vDef - это вариационный симулятор разрушения фазового поля с открытым исходным кодом, основанный на теории, разработанной в. [3] [4] [5]
Рекомендации
- ^ Boettinger, WJ; Уоррен, JA; Beckermann, C .; Карма, А. (2002). «Фазово-полевое моделирование затвердевания». Ежегодный обзор исследований материалов . 32 : 163–194. DOI : 10.1146 / annurev.matsci.32.101901.155803 .
- ^ а б Folch, R .; Casademunt, J .; Эрнандес-Мачадо, А .; Рамирес-Писцина, Л. (1999). «Модель фазового поля для течений Хеле-Шоу с произвольным контрастом вязкости. II. Численное исследование». Physical Review E . 60 (2): 1734–40. arXiv : cond-mat / 9903173 . Bibcode : 1999PhRvE..60.1734F . DOI : 10.1103 / PhysRevE.60.1734 . PMID 11969955 . S2CID 8488585 .
- ^ а б Bourdin, B .; Франсфорт, Джорджия; Мариго, JJ. (Апрель 2000 г.). «Численные эксперименты при повторном хрупком разрушении». Журнал механики и физики твердого тела . 48 (4): 797–826. DOI : 10.1016 / S0022-5096 (99) 00028-9 .
- ^ а б Бурден, Блез (2007). «Численная реализация вариационной постановки квазистатического хрупкого разрушения» . Интерфейсы и свободные границы : 411–430. DOI : 10,4171 / IFB / 171 . ISSN 1463-9963 .
- ^ а б Бурден, Блэз; Francfort, Gilles A .; Мариго, Жан-Жак (апрель 2008 г.). «Вариационный подход к разрушению». Журнал эластичности . 91 (1–3): 5–148. DOI : 10.1007 / s10659-007-9107-3 . ISSN 0374-3535 . S2CID 120498253 .
- ^ Карма, Ален; Кесслер, Дэвид; Левин, Герберт (2001). "Фазово-полевая модель динамического разрушения режима III". Письма с физическим обзором . 87 (4): 045501. arXiv : cond-mat / 0105034 . Bibcode : 2001PhRvL..87d5501K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.87.045501 . PMID 11461627 . S2CID 42931658 .
- ^ Мартинес-Панеда, Эмилио; Голахмар, Алиреза; Ниордсон, Кристиан (2018). «Формулировка фазового поля для крекинга с водородом». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 342 : 742–761. arXiv : 1808.03264 . DOI : 10.1016 / j.cma.2018.07.021 . S2CID 52360579 .
- ^ Бибен, Тьерри; Касснер, Клаус; Misbah, Chaouqi (2005). "Фазово-полевой подход к трехмерной динамике пузырьков". Physical Review E . 72 (4): 041921. Bibcode : 2005PhRvE..72d1921B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.72.041921 . PMID 16383434 .
- ^ GJ Fix, в задачах со свободными границами: теория и приложения, под ред. А. Фазано и М. Примичерио, стр. 580, Питман (Бостон, 1983).
- ^ Лангер, JS (1986). «Модели образования паттернов при фазовых переходах первого порядка». Направления в физике конденсированного состояния . Направления в физике конденсированного состояния. Серия: Серия по направлениям физики конденсированного состояния . Серия по направлениям физики конденсированного состояния. 1 . Сингапур: World Scientific. С. 165–186. Bibcode : 1986SDCMP ... 1..165L . DOI : 10.1142 / 9789814415309_0005 . ISBN 978-9971-978-42-6.
- ^ Лангер, JS (1980). «Неустойчивости и формирование структуры при росте кристаллов». Обзоры современной физики . 52 (1): 1–28. Bibcode : 1980RvMP ... 52 .... 1л . DOI : 10.1103 / RevModPhys.52.1 .
- ^ а б Карма, Ален; Раппель, Воутер-Ян (1998). «Количественное моделирование фазового поля роста дендритов в двух и трех измерениях». Physical Review E . 57 (4): 4323. Bibcode : 1998PhRvE..57.4323K . DOI : 10.1103 / PhysRevE.57.4323 .
- ^ Hohenberg, P .; Гальперин, Б. (1977). «Теория динамических критических явлений». Обзоры современной физики . 49 (3): 435. Полномочный код : 1977RvMP ... 49..435H . DOI : 10.1103 / RevModPhys.49.435 .
- ^ Юэ, Пэнтао; Чжоу, Чуньфэн; Фэн, Джеймс Дж. (2007). «Самопроизвольное сжатие капель и сохранение массы при моделировании фазового поля». Журнал вычислительной физики . 223 (1): 1–9. Bibcode : 2007JCoPh.223 .... 1Y . CiteSeerX 10.1.1.583.2109 . DOI : 10.1016 / j.jcp.2006.11.020 .
- ^ Дональдсон, АА; Кирпалани, DM; Маччи, А. (2011). «Отслеживание диффузной границы раздела несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фазы за счет выбора плотности свободной энергии» . Международный журнал многофазных потоков . 37 (7): 777. doi : 10.1016 / j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .
- ^ Макфадден, Великобритания; Уиллер, AA; Андерсон, Д.М. (2000). «Тонкая асимптотика интерфейса для энергетического / энтропийного подхода к моделям фазового поля с неравными проводимостями». Physica D: нелинейные явления . 144 (1–2): 154–168. Bibcode : 2000PhyD..144..154M . DOI : 10.1016 / S0167-2789 (00) 00064-6 . ЛВП : 2060/20000014455 .
- ^ Жакмин, Дэвид (1999). «Расчет двухфазных течений Навье – Стокса с использованием моделирования фазового поля». Журнал вычислительной физики . 155 (1): 96–127. Bibcode : 1999JCoPh.155 ... 96J . DOI : 10,1006 / jcph.1999.6332 .
- ^ Benítez, R .; Рамирес-Писцина, Л. (2005). «Резкая интерфейсная проекция модели флуктуирующего фазового поля». Physical Review E . 71 (6): 061603. arXiv : cond-mat / 0409707 . Bibcode : 2005PhRvE..71f1603B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.71.061603 . PMID 16089744 . S2CID 28956874 .
- ^ Schmitz, GJ; Böttger, B .; Eiken, J .; Апель, М .; Виардин, А .; Carré, A .; Лашет, Г. (2011). «Моделирование эволюции микроструктуры технических сплавов на основе фазового поля». Международный журнал достижений инженерных наук и прикладной математики . 2 (4): 126. DOI : 10.1007 / s12572-011-0026-у . S2CID 121915897 .
- ^ Miehe, К., Hofacker, М., & Welschinger, Ф. (2010). Модель фазового поля для не зависящего от скорости распространения трещины: надежная алгоритмическая реализация на основе разбиения операторов. Компьютерные методы в прикладной механике и технике, 199 (45-48), 2765-2778.
дальнейшее чтение
- Чен, Лун-Цин (2002). «Модели фазового поля для эволюции микроструктуры». Ежегодный обзор исследований материалов . 32 : 113–140. DOI : 10.1146 / annurev.matsci.32.112001.132041 .
- Моэланс, Неле; Blanpain, Bart; Волланц, Патрик (2008). «Введение в фазовое моделирование эволюции микроструктуры». Calphad . 32 (2): 268. DOI : 10.1016 / j.calphad.2007.11.003 .
- Штейнбах, Инго (2009). «Модели фазового поля в материаловедении». Моделирование и моделирование в материаловедении и инженерии . 17 (7): 073001. Bibcode : 2009MSMSE..17g3001S . DOI : 10.1088 / 0965-0393 / 17/7/073001 .
- Фри, Сюзана Г .; Boettger, Bernd; Эйкен, Джанин; Штейнбах, Инго (2009). «Обновление CALPHAD до моделирования микроструктуры: метод фазового поля». Международный журнал исследований материалов . 100 (2): 128. DOI : 10,3139 / 146,110013 .
- Цинь, РС; Бхадешия, Гонконг (2010). «Метод фазового поля» (PDF) . Материаловедение и технологии . 26 (7): 803. DOI : 10,1179 / 174328409X453190 . S2CID 136124682 .
- Дональдсон, АА; Кирпалани, DM; Маччи, А. (2011). «Отслеживание диффузной границы раздела несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фазы за счет выбора плотности свободной энергии» . Международный журнал многофазных потоков . 37 (7): 777. doi : 10.1016 / j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .
- Gonzalez-Cinca, R .; Folch, R .; Benitez, R .; Ramirez-Piscina, L .; Casademunt, J .; Эрнандес-Мачадо, А. (2003). «Модели фазового поля в формировании межфазной структуры вне равновесия». Успехи конденсированных сред и статистической механики / Под ред. Э. Коручева и Р. Куэрно, Nova Science Publishers (Нью-Йорк), стр . 2004 : 203–236. arXiv : cond-mat / 0305058 . Bibcode : 2003 second.mat..5058G . обзор моделей фазового поля.
- Проватас, Николай; Старейшина, Кен (2010). Методы фазового поля в материаловедении и технике. Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. DOI : 10.1002 / 9783527631520 . ISBN 9783527631520
- Штейнбах, И .: «Квантово-фазовая концепция материи: возникающая гравитация в динамической Вселенной», Zeitschrift für Naturforschung A 72 1 (2017) doi : 10.1515 / zna-2016-0270
- Schmitz, GJ: «Комбинированный подход энтропии / фазового поля к гравитации», Entropy 2017 , 19 (4) 151; DOI : 10,3390 / e19040151