Теорема флуктуации-диссипации

Теорема флуктуации-диссипации ( FDT ) или соотношение флуктуации-диссипации ( FDR ) - мощный инструмент в статистической физике для предсказания поведения систем, которые подчиняются детальному равновесию . Учитывая, что система подчиняется детальному балансу, теорема является общим доказательством того, что термодинамические флуктуации физической переменной предсказывают отклик, количественно выраженный проводимостью или импедансом (подразумевается в их общем смысле, а не только в терминах электромагнитного поля) той же физической переменной. (например, напряжение, разница температур и т. д.), и наоборот. Теорема флуктуации-диссипации применима как кклассические и квантово-механические системы.

Флуктуационно-диссипативная теорема была доказана Гербертом Калленом и Теодором Велтоном в 1951 г. ^[1] и расширена Рёго Кубо . Существуют предшественники общей теоремы, включая объяснение Эйнштейном броуновского движения ^[2] во время его annus mirabilis и объяснение Гарри Найквиста в 1928 году шума Джонсона в электрических резисторах. ^[3]

Качественный обзор и примеры [ править ]

Теорема флуктуации-диссипации гласит, что когда есть процесс, который рассеивает энергию, превращая ее в тепло (например, трение), существует обратный процесс, связанный с тепловыми флуктуациями . Лучше всего это понять, рассмотрев несколько примеров:

• Перетаскивание и броуновское движение

Если объект движется через жидкость, он испытывает сопротивление (сопротивление воздуха или жидкости). Drag рассеивает кинетическую энергию, превращая ее в тепло. Соответствующее колебание - броуновское движение . Объект в жидкости не сидит на месте, а скорее движется с небольшой и быстро меняющейся скоростью, когда молекулы жидкости сталкиваются с ним. Броуновское движение преобразует тепловую энергию в кинетическую энергию, обратную сопротивлению.

• Сопротивление и шум Джонсона

Если электрический ток проходит через проволочную петлю с резистором в ней, ток быстро упадет до нуля из-за сопротивления. Сопротивление рассеивает электрическую энергию, превращая ее в тепло ( джоулевое нагревание ). Соответствующая флуктуация - шум Джонсона . Проволочная петля с резистором на самом деле не имеет нулевого тока, у нее есть небольшой и быстро флуктуирующий ток, вызванный тепловыми колебаниями электронов и атомов в резисторе. Шум Джонсона преобразует тепловую энергию в электрическую - обратную сопротивлению.

• Поглощение света и тепловое излучение

Когда свет падает на объект, некоторая его часть поглощается, делая объект более горячим. Таким образом, поглощение света превращает световую энергию в тепло. Соответствующее колебание - тепловое излучение (например, свечение «раскаленного» объекта). Тепловое излучение превращает тепловую энергию в энергию света - обратное поглощению света. Действительно, закон Кирхгофа о тепловом излучении подтверждает, что чем эффективнее объект поглощает свет, тем больше теплового излучения он излучает.

Подробно о примерах [ править ]

Теорема о флуктуации-диссипации - это общий результат статистической термодинамики, который количественно определяет связь между флуктуациями в системе, которая подчиняется детальному балансу, и реакцией системы на приложенные возмущения.

Броуновское движение [ править ]

Например, Альберт Эйнштейн в своей статье 1905 года о броуновском движении отметил, что те же случайные силы, которые вызывают беспорядочное движение частицы в броуновском движении, также вызовут сопротивление, если частица будет протаскиваться через жидкость. Другими словами, колебания покоящейся частицы имеют то же происхождение, что и диссипативная сила трения, против которой нужно работать, если кто-то пытается возмущать систему в определенном направлении.

Из этого наблюдения Эйнштейн смог с помощью статистической механики вывести соотношение Эйнштейна – Смолуховского.

${\ Displaystyle D = {\ mu \, k_ {B} T}}$

который связывает постоянную диффузии D и подвижность частицы μ , отношение конечной скорости дрейфа частицы к приложенной силе. k _B - постоянная Больцмана , а T - абсолютная температура .

Тепловой шум в резисторе [ править ]

В 1928 году Джон Б. Джонсон открыл, а Гарри Найквист объяснил шум Джонсона – Найквиста . При отсутствии приложенного тока, среднеквадратичное напряжение зависит от сопротивления , и ширина полосы частот , по которой измеряется напряжение: ^[4]${\ displaystyle R}$${\ displaystyle k_ {B} T}$${\ displaystyle \ Delta \ nu}$

${\ Displaystyle \ langle V ^ {2} \ rangle \ приблизительно 4Rk_ {B} T \, \ Delta \ nu.}$

Это наблюдение можно понять через призму теоремы о флуктуации-диссипации. Возьмем, к примеру, простую схему, состоящую из резистора с сопротивлением и конденсатора с небольшой емкостью . Закон Кирхгофа дает${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle V = -R {\ frac {dQ} {dt}} + {\ frac {Q} {C}}}$

и поэтому функция отклика для этой схемы

${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}}$

В пределе низких частот его мнимая часть просто${\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}$

которое затем может быть связано с автокорреляционной функцией напряжения с помощью теоремы флуктуации-диссипации${\displaystyle S_{V}(\omega )}$

${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}$

Шум напряжения Джонсона – Найквиста наблюдался в небольшой полосе частот, сосредоточенной вокруг . Следовательно${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }$

Общая формулировка [ править ]

Флуктуационно-диссипативную теорему можно сформулировать по-разному; одна особенно полезная форма следующая: ^{[ необходима цитата ]}

Пусть быть наблюдаемы из динамической системы с гамильтонианом с учетом тепловых колебаний. Наблюдаемая будет колебаться вокруг своего среднего значения с колебаниями, характеризуемыми спектром мощности . Предположим, что мы можем включить изменяющееся во времени пространственно постоянное поле, которое изменяет гамильтониан на . Отклик наблюдаемого на зависящее от времени поле характеризуется в первом порядке восприимчивостью или функцией линейного отклика системы.${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle H_{0}(x)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \langle x\rangle _{0}}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle }$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \chi (t)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int \limits _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\,d\tau ,}$

где возмущение включается адиабатически (очень медленно) при .${\displaystyle \tau =-\infty }$

Теорема флуктуации-диссипации связывает двусторонний спектр мощности (т.е. как положительные, так и отрицательные частоты) с мнимой частью преобразования Фурье восприимчивости :${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\chi }}(\omega )}$${\displaystyle \chi (t)}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\mathrm {Im} \,{\hat {\chi }}(\omega ).}$

Левая часть описывает флуктуации , правая часть тесно связана с энергией, рассеиваемой системой при накачке колебательным полем .${\displaystyle x}$${\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}$

Это классическая форма теоремы; квантовые флуктуации принимаются во внимание при замене с (чьим пределом для IS ). Доказательство может быть найдено с помощью редукции LSZ , тождества из квантовой теории поля. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$${\displaystyle {\hbar }\,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)}$${\displaystyle \hbar \to 0}$${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$

Теорема о флуктуации-диссипации может быть напрямую обобщена на случай пространственно-зависимых полей, на случай нескольких переменных или на квантово-механическую установку. ^[1]

Вывод [ править ]

Классическая версия [ править ]

Мы выводим флуктуационно-диссипативную теорему в приведенной выше форме, используя те же обозначения. Рассмотрим следующий тестовый пример: поле f было включено бесконечное время и выключено при t = 0.

${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$

где - функция Хевисайда . Мы можем выразить математическое ожидание через распределение вероятностей W ( x , 0) и вероятность перехода${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x',t|x,0)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$

Функция распределения вероятностей W ( x , 0) является равновесным распределением и, следовательно, задается распределением Больцмана для гамильтониана${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\;,}$

где . Для слабого поля можно разложить правую часть${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$

${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x(0)-\langle x\rangle _{0})],}$

вот равновесное распределение в отсутствие поля. Подставляя это приближение в формулу доходности${\displaystyle W_{0}(x)}$${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\beta f_{0}A(t),}$

( * )

где A ( t ) - автокорреляционная функция x в отсутствие поля:

${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$

Обратите внимание, что в отсутствие поля система инвариантна относительно сдвигов во времени. Мы можем переписать, используя восприимчивость системы, и, следовательно, найти с помощью приведенного выше уравнения (*)${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$

${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$

Вследствие этого,

${\displaystyle -\chi (t)=\beta {\operatorname {d} A(t) \over \operatorname {d} t}\theta (t).}$

( ** )

Чтобы сделать утверждение о частотной зависимости, необходимо воспользоваться преобразованием Фурье уравнения (**) . Интегрируя по частям, можно показать, что

${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}$

Поскольку является действительным и симметричным, отсюда следует${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle 2\,\mathrm {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$

Наконец, для стационарных процессов , то Винера-Хинчина теорема утверждает , что двусторонняя спектральная плотность равен преобразование Фурье функции автокорреляции:

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$

Следовательно,

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\,\mathrm {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$

Квантовая версия [ править ]

Теорема флуктуации-диссипации связывает корреляционную функцию интересующей наблюдаемой (мера флуктуации) с мнимой частью функции отклика в частотной области (мера диссипации). Связь между этими величинами можно найти с помощью так называемой формулы Кубо ^[5]${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$

${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }$

что следует, в предположениях теории линейного отклика , из временной эволюции среднего по ансамблю наблюдаемой в присутствии возмущающего источника. После преобразования Фурье формула Кубо позволяет записать мнимую часть функции отклика в виде${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$

В каноническом ансамбле второй член можно переформулировать как

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$

где во втором равенстве мы изменили положение, используя циклическое свойство следа (на этом шаге мы также предположили, что оператор является бозонным, т.е. не вносит изменения знака при перестановке). Далее, в третьем равенстве мы вставили рядом со следом и интерпретировали как оператор временной эволюции с мнимым временным интервалом . Мнимый сдвиг во времени превращается в множитель после преобразования Фурье${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}$

и, таким образом, выражение для можно легко переписать как квантово-флуктуационно-диссипативное соотношение ^[6]${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

где спектральная плотность мощности является преобразованием Фурье автокорреляции и является функцией распределения Бозе-Эйнштейна . Тот же расчет также дает${\displaystyle S_{x}(\omega )}$${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$${\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$

${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$

таким образом, в отличие от того, что получается в классическом случае, спектральная плотность мощности не является точно частотно-симметричной в квантовом пределе. Соответственно, имеет мнимую часть, происходящую из правил коммутации операторов. ^[7] Дополнительный термин " " в выражении на положительных частотах также можно рассматривать как связанный со спонтанным излучением . Часто цитируемым результатом также является симметризованная спектральная плотность мощности${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$${\displaystyle +1}$${\displaystyle S_{x}(\omega )}$

${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$

« » Можно рассматривать как связанный с квантовыми флуктуациями или с движением нулевой точки наблюдаемого . При достаточно высоких температурах, т.е. квантовый вклад пренебрежимо мал, и мы восстанавливаем классический вариант.${\displaystyle +1/2}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$

Нарушения в стеклянных системах [ править ]

В то время как теорема флуктуации-диссипации обеспечивает общую связь между реакцией систем, подчиняющихся детальному балансу , когда детальный баланс нарушается, сравнение флуктуаций и диссипации более сложное. Ниже так называемая температура стекла , стекловидные системы не уравновешены, и медленно приближаются к своему состоянию равновесия. Этот медленный подход к равновесию синонимичен нарушению детального баланса . Таким образом, эти системы требуют больших временных масштабов для изучения, пока они медленно движутся к равновесию.${\displaystyle T_{\rm {g}}}$

Для изучения нарушения флуктуационно-диссипативного соотношения в стеклообразных системах, в частности в спиновых стеклах , см. ^[8] выполнили численное моделирование макроскопических систем (т.е. больших по сравнению с их корреляционными длинами), описываемых трехмерной моделью Эдвардса-Андерсона, с использованием суперкомпьютеров. В их моделировании система сначала готовится при высокой температуре, быстро охлаждается до температуры ниже температуры стекла и оставляется на очень долгое время для уравновешивания в магнитном поле . Затем, позже , исследуются две динамические наблюдаемые, а именно функция отклика${\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle T_{g}}$${\displaystyle t_{\rm {w}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle t+t_{\rm {w}}}$

${\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}}$

и спин-временная корреляционная функция

${\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}}$

где - спин, живущий в узле кубической объемной решетки , - плотность намагниченности. Соотношение флуктуаций и диссипации в этой системе можно записать в терминах этих наблюдаемых как${\displaystyle S_{x}=\pm 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$

${\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})}$

Их результаты подтверждают ожидание того, что, поскольку системе дают уравновешиваться в течение более длительного времени, соотношение флуктуаций и диссипации становится ближе к выполнению.

В середине 1990-х годов при изучении динамики моделей спинового стекла было обнаружено обобщение флуктуационно-диссипативной теоремы ^[9] , справедливое для асимптотических нестационарных состояний, когда температура, фигурирующая в соотношении равновесия, заменяется эффективная температура с нетривиальной зависимостью от временных масштабов. Предполагается, что это соотношение сохраняется в стеклянных системах за пределами моделей, для которых оно было первоначально обнаружено.

Квантовая версия [ править ]

Энтропия Реньи, а также энтропия фон Неймана в квантовой физике не наблюдаются, поскольку они нелинейно зависят от матрицы плотности. Недавно Ансари и Назаров доказали точное соответствие, которое раскрывает физический смысл потока энтропии Реньи во времени. Это соответствие аналогично теореме о флуктуации-диссипации по духу и позволяет измерять квантовую энтропию с использованием полной статистики подсчета (FCS) передачи энергии. ^{[10] [11] [12]}

См. Также [ править ]

• Неравновесная термодинамика
• Отношения Грина – Кубо
• Онсагер взаимные отношения
• Теорема о равнораспределении
• Распределение Больцмана
• Диссипативная система

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Х. Б. Каллен, Т. А. Велтон (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Физический обзор . 83 (1): 34–40. Полномочный код : 1951PhRv ... 83 ... 34C . DOI : 10.1103 / PhysRev.83.34 .
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1980). Статистическая физика . Курс теоретической физики . 5 (3-е изд.).
• Умберто Марини Беттоло Маркони; Андреа Пуглиси; Ламберто Рондони; Анджело Вульпиани (2008). "Флуктуация-диссипация: теория отклика в статистической физике". Отчеты по физике . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Bibcode : 2008PhR ... 461..111M . DOI : 10.1016 / j.physrep.2008.02.002 . S2CID  118575899 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Аудиозапись лекции профессора Э.В. Карлсона из Университета Пердью
• Знаменитый текст Кубо: Теорема флуктуации-диссипации
• Вебер Дж (1956). «Теорема флуктуационной диссипации». Физический обзор . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Bibcode : 1956PhRv..101.1620W . DOI : 10.1103 / PhysRev.101.1620 .
• Фельдерхоф БУ (1978). «О выводе флуктуационно-диссипативной теоремы». Журнал Physics A . 11 (5): 921–927. Bibcode : 1978JPhA ... 11..921F . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 11/5/021 .
• Кристани А., Риторт Ф (2003). «Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы в стеклообразных системах: основные понятия и числовые доказательства». Журнал Physics A . 36 (21): R181 – R290. arXiv : cond-mat / 0212490 . Bibcode : 2003JPhA ... 36R.181C . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 36/21/201 . S2CID  14144683 .
• Чендлер Д. (1987). Введение в современную статистическую механику . Издательство Оксфордского университета. С.  231–265 . ISBN 978-0-19-504277-1.
• Райхль Л.Е. (1980). Современный курс статистической физики . Остин, Техас: Техасский университет Press. С. 545–595. ISBN 0-292-75080-3. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Плишке М, Бергерсен Б (1989). Статистическая физика равновесия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 251–296. ISBN 0-13-283276-3.
• Патрия РК (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Pergamon Press. С. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Хуанг К. (1987). Статистическая механика . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 153, 394–396. ISBN 0-471-81518-7.
• Каллен HB (1985). Термодинамика и введение в термостатистику . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 307–325. ISBN 0-471-86256-8.
• Мазонка, Олег (2016). «Легко, как Пи: зависимость флуктуации и рассеяния» (PDF) . Справочный журнал . 16 .
• Ансари, Мохаммад Х .; Назаров, Юлий В. (2015). «Точное соответствие между потоками энтропии Реньи и физическими потоками». Physical Review B . 91 (17): 174307. arXiv : 1502.08020 . Bibcode : 2015PhRvB..91q4307A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.91.174307 . S2CID  36847902 .