Плоскость вращения

В геометрии , A плоскость вращения является абстрактным объектом , используемым для описания или визуализации вращения в пространстве. В трех измерениях это альтернатива оси вращения , но, в отличие от оси вращения, она может использоваться в других измерениях, например в двух , четырех или более измерениях.

Математически такие плоскости можно описать разными способами. Их можно описать с помощью плоскостей и углов поворота . Их можно связать с бивекторами из геометрической алгебры . Они связаны с собственными значениями и собственными векторами одного матрицы вращения . И в конкретных измерениях они связаны с другими алгебраическими и геометрическими свойствами, которые затем могут быть обобщены на другие измерения.

Плоскости вращения мало используются в двух и трех измерениях, поскольку в двух измерениях есть только одна плоскость, поэтому определение плоскости вращения тривиально и редко выполняется, в то время как в трех измерениях ось вращения служит той же цели и тем более установленный подход. В основном они используются для описания более сложных вращений в более высоких измерениях , где их можно использовать для разбивки поворотов на более простые части. Это можно сделать с помощью геометрической алгебры с плоскостями вращения, связанными с простыми бивекторами в алгебре. ^[1]

Определения [ править ]

Самолет [ править ]

В этой статье все плоскости проходят через начало координат , то есть они содержат нулевой вектор . Такая плоскость в $n$ -мерном пространстве является двумерным линейным подпространством этого пространства. Он полностью задается любыми двумя ненулевыми и непараллельными векторами, лежащими в плоскости, т.е. любыми двумя векторами $a$ и $b$ , такими, что

{\ Displaystyle \ mathbf {а} \ клин \ mathbf {b} \ neq 0,}

где $\land$ - внешнее произведение из внешней алгебры или геометрической алгебры (в трех измерениях можно использовать векторное произведение ). Точнее, величина $a \land b$ - это бивектор, связанный с плоскостью, заданной $a$ и $b$ , и имеет величину $| а | | б | sin φ$ , где $φ$ - угол между векторами; отсюда требование, чтобы векторы были ненулевыми и непараллельными. ^[2]

Если бивектор $a \land b$ записывается как $B$ , то условие, что точка лежит на плоскости, связанной с $B$ , просто ^[3]

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {B} = 0.}

Это верно во всех измерениях и может быть принято как определение на плоскости. В частности, из свойств внешнего продукта ему удовлетворяют как $a, так$ и $b$ , а значит, любой вектор вида

{\ displaystyle \ mathbf {c} = \ lambda \ mathbf {a} + \ mu \ mathbf {b},}

с действительными числами $λ$ и $μ$ . Так как $λ$ и $μ$ пробегают все действительные числа, $c$ пробегает всю плоскость, поэтому это можно рассматривать как другое определение плоскости.

Плоскость вращения [ править ]

Плоскость вращения для конкретного вращения представляет собой плоскость, которая отображается в себя при вращении. Плоскость не фиксирована, но все векторы в плоскости отображаются на другие векторы в той же плоскости посредством вращения. Это преобразование плоскости в себя всегда представляет собой поворот вокруг начала координат на угол, который является углом поворота плоскости.

Каждое вращение, за исключением единичного вращения (с матрицей единичной матрицей ), имеет как минимум одну плоскость вращения, и до

{\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor}

плоскости вращения, где $n$ - размерность. Максимальное количество плоскостей до восьми размеров показано в этой таблице:

Измерение	2	3	4	5	6	7	8
Количество самолетов	1	1	2	2	3	3	4

Когда вращение имеет несколько плоскостей вращения, они всегда ортогональны друг другу, с общим только началом. Это более сильное условие, чем сказать, что плоскости расположены под прямым углом ; вместо этого это означает, что плоскости не имеют общих ненулевых векторов и что каждый вектор в одной плоскости ортогонален каждому вектору в другой плоскости. Это может происходить только в четырех или более измерениях. В двух измерениях существует только одна плоскость, в то время как в трех измерениях все плоскости имеют по крайней мере один общий ненулевой вектор вдоль линии их пересечения . ^[4]

В более чем трех измерениях плоскости вращения не всегда уникальны. Например, отрицание единичной матрицы в четырех измерениях ( центральная инверсия ),

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}},}

описывает вращение в четырех измерениях, в котором каждая плоскость, проходящая через начало координат, является плоскостью вращения на угол $π$ , поэтому любая пара ортогональных плоскостей генерирует вращение. Но для общего вращения по крайней мере теоретически возможно идентифицировать уникальный набор ортогональных плоскостей, в каждой из которых точки повернуты на угол, так что набор плоскостей и углов полностью характеризует вращение. ^[5]

Два измерения [ править ]

В двухмерном пространстве есть только одна плоскость вращения, плоскость самого пространства. В декартовой системе координат это декартова плоскость, в комплексных числах - комплексная плоскость . Следовательно, любое вращение относится к всей плоскости, т. Е. К пространству, при этом фиксируется только начало координат . Он полностью определяется указанным углом поворота, например в диапазоне от $π$ до $π$ . Итак, если угол равен $θ,$ поворот в комплексной плоскости задается формулой Эйлера :

{\ Displaystyle е ^ {я \ тета} = \ соз {\ тета} + я \ грех {\ тета}, \,}

в то время как вращение в декартовой плоскости задается матрицей вращения 2 × 2 : ^[6]

{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.

Три измерения [ править ]

Трехмерное вращение с осью вращения вдоль оси

z

и плоскостью вращения в плоскости

xy.

В трехмерном пространстве существует бесконечное количество плоскостей вращения, только одна из которых участвует в любом данном вращении. То есть для общего вращения существует ровно одна плоскость, которая связана с ним или в которой происходит вращение. Единственным исключением является тривиальное вращение, соответствующее единичной матрице, в котором вращения не происходит.

В любом вращении в трех измерениях всегда есть фиксированная ось, ось вращения. Вращение можно описать, задав для этой оси угол, на который вращение поворачивается вокруг нее; это представление угла оси вращения. Плоскость вращения - это плоскость, ортогональная этой оси, поэтому ось является нормалью к плоскости. Затем вращение поворачивает эту плоскость на тот же угол, что и она вращается вокруг оси, то есть все в плоскости вращается на тот же угол относительно начала координат.

Один пример показан на диаграмме, где вращение происходит вокруг оси $z$ . Плоскость вращения - это плоскость $xy$ , поэтому все в этой плоскости удерживается в этой плоскости за счет вращения. Это можно описать матрицей, подобной следующей, с вращением на угол $θ$ (вокруг оси или в плоскости):

{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Земля, показывающая свою ось и плоскость вращения, наклоненные относительно плоскости и перпендикулярные орбите Земли.

Другой пример - вращение Земли . Ось вращения - это линия, соединяющая Северный полюс и Южный полюс, а плоскость вращения - это плоскость, проходящая через экватор между Северным и Южным полушариями. Другие примеры включают механические устройства, такие как гироскоп или маховик, которые накапливают вращательную энергию в массе, обычно вдоль плоскости вращения.

В любом трехмерном вращении плоскость вращения определяется однозначно. Вместе с углом поворота он полностью описывает поворот. Или в непрерывно вращающемся объекте свойства вращения, такие как скорость вращения, могут быть описаны в терминах плоскости вращения. Она перпендикулярна оси вращения и, таким образом, определяется ею, поэтому любое описание вращения в терминах плоскости вращения может быть описано в терминах оси вращения, и наоборот. Но в отличие от оси вращения плоскость обобщается в другие, в частности, более высокие измерения. ^[7]

Четыре измерения [ править ]

Обычное вращение в четырехмерном пространстве имеет только одну фиксированную точку - начало координат. Следовательно, ось вращения не может использоваться в четырех измерениях. Но можно использовать плоскости вращения, и каждое нетривиальное вращение в четырех измерениях имеет одну или две плоскости вращения.

Простые вращения [ править ]

Вращение только с одной плоскостью вращения - это простое вращение . В простом вращении есть фиксированная плоскость, и можно сказать, что вращение происходит вокруг этой плоскости, поэтому точки при вращении не изменяют своего расстояния от этой плоскости. Плоскость вращения ортогональна этой плоскости, и можно сказать, что вращение происходит в этой плоскости.

Например, следующая матрица фиксирует плоскость $xy$ : точки в этой плоскости и только в этой плоскости остаются неизменными. Плоскость вращения - это плоскость $zw$ , точки в которой повернуты на угол $θ$ . Обычная точка вращается только в плоскости $zw$ , то есть она вращается вокруг плоскости $xy$ , изменяя только свои координаты $z$ и $w$ .

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}

В двух и трех измерениях все вращения просты, поскольку имеют только одну плоскость вращения. Только в четырех и более измерениях есть вращения, которые не являются простыми вращениями. В частности, в четырех измерениях также существуют двойные и изоклинные вращения.

Двойные вращения [ править ]

При двойном вращении есть две плоскости вращения, неподвижных плоскостей нет, и единственной фиксированной точкой является начало координат. Можно сказать, что вращение происходит в обеих плоскостях вращения, поскольку точки в них вращаются внутри плоскостей. Эти плоскости ортогональны, то есть у них нет общих векторов, поэтому каждый вектор в одной плоскости находится под прямым углом к каждому вектору в другой плоскости. Две плоскости вращения охватывают четырехмерное пространство, поэтому каждая точка в пространстве может быть указана двумя точками, по одной на каждой из плоскостей.

Двойное вращение имеет два угла поворота, по одному для каждой плоскости вращения. Вращение задается двумя плоскостями и двумя ненулевыми углами, $α$ и $β$ (если любой из углов равен нулю, поворот выполняется просто). Точки в первой плоскости вращаются на $α$ , а точки во второй плоскости - на $β$ . Все остальные точки вращаются на угол между $α$ и $β$ , поэтому в некотором смысле они вместе определяют величину поворота. Для обычного двойного вращения плоскости вращения и углы уникальны, и для общего вращения они могут быть рассчитаны. Например, поворот $α$ в плоскости $xy$ и $β$ в плоскости $zw$ -плоскость задается матрицей

{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}.

Изоклинические вращения [ править ]

Проекция тессеракта с изоклиническим вращением.

Частный случай двойного поворота - это когда углы равны, то есть если $α = β \neq 0$ . Это называется изоклиническим вращением и во многих отношениях отличается от обычного двойного вращения. Например, при изоклиническом вращении все ненулевые точки поворачиваются на один и тот же угол $α$ . Самое главное, плоскости вращения не идентифицируются однозначно. Вместо этого существует бесконечное количество пар ортогональных плоскостей, которые можно рассматривать как плоскости вращения. Например, можно взять любую точку, а плоскость, в которой она вращается, и плоскость, ортогональную ей, можно использовать как две плоскости вращения. ^[8]

Высшие измерения [ править ]

Как уже отмечалось, максимальное количество плоскостей вращения в $n$ измерениях равно

\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,

поэтому сложность быстро увеличивается с более чем четырьмя измерениями, и категоризация вращений, как указано выше, становится слишком сложным, чтобы быть практичным, но некоторые наблюдения можно сделать.

Простые вращения можно идентифицировать во всех измерениях, как вращения только с одной плоскостью вращения. Простое вращение в $n$ измерениях происходит вокруг (то есть на фиксированном расстоянии от) $(n - 2)$ -мерного подпространства, ортогонального плоскости вращения.

Обычное вращение не является простым и имеет максимальное количество плоскостей вращения, как указано выше. В общем случае углы поворота в этих плоскостях различны и плоскости определены однозначно. Если любой из углов одинаков, то плоскости не уникальны, как в четырех измерениях с изоклиническим вращением.

В четных размерах ( $n = 2, 4, 6 ...$ ) до $п / 2$ плоскости вращения охватывают пространство, поэтому при общем вращении вращаются все точки, кроме исходной точки, которая является единственной фиксированной точкой. В нечетных размерах ( $n = 3, 5, 7, ...$ ) есть $п - 1 / 2$ плоскости и углы поворота такие же, как и у четного размера на один меньший. Они не охватывают пространство, а оставляют линию, которая не вращается - как ось вращения в трех измерениях, за исключением того, что вращения происходят не вокруг этой линии, а в нескольких плоскостях, ортогональных ей. ^[1]

Математические свойства [ править ]

Приведенные выше примеры были выбраны как ясные и простые примеры поворотов с плоскостями, обычно параллельными осям координат в трех и четырех измерениях. Но это не всегда так: плоскости обычно не параллельны осям, и матрицы не могут быть просто записаны. Во всех измерениях вращения полностью описываются плоскостями вращения и соответствующими углами, поэтому полезно иметь возможность определять их или, по крайней мере, находить способы их математического описания.

Размышления [ править ]

Два разных отражения в двух измерениях, создающие вращение.

Каждое простое вращение может быть произведено двумя отражениями . Отражения могут быть заданы в $n$ измерениях, задав $(n - 1)$ -мерное подпространство для отражения, таким образом, двумерное отражение находится в линии, трехмерное отражение находится в плоскости и так далее. Но это становится все труднее применять в более высоких измерениях, поэтому вместо этого лучше использовать векторы, как показано ниже.

Отражение в $n$ измерениях задается вектором, перпендикулярным $(n - 1)$ -мерному подпространству. Для создания простых вращений необходимы только отражения, фиксирующие начало координат, поэтому вектор не имеет положения, только направление. Также не имеет значения, в какую сторону он обращен: его можно заменить на его негатив, не меняя результата. Аналогичным образом единичные векторы могут использоваться для упрощения вычислений.

Таким образом, отражение в $(n - 1)$ -мерном пространстве задается перпендикулярным ему единичным вектором $m$ , таким образом:

\mathbf {x} '=-\mathbf {mxm} \,

где произведение - геометрическое произведение из геометрической алгебры .

Если $x '$ отражается в другом, отличном, $(n - 1)$ -мерном пространстве, описываемом единичным вектором $n,$ перпендикулярным ему, результатом будет

\mathbf {x} ''=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =-\mathbf {n} (-\mathbf {mxm} )\mathbf {n} =\mathbf {nmxmn}

Это простой поворот в $n$ измерениях на удвоенный угол между подпространствами, который также является углом между векторами m и $n$ . С помощью геометрической алгебры можно проверить, что это вращение, и что он поворачивает все векторы, как ожидалось.

Величина $mn$ - это ротор , а $nm$ - обратная ей как

(\mathbf {mn} )(\mathbf {nm} )=\mathbf {mnnm} =\mathbf {mm} =1

Итак, вращение можно записать

\mathbf {x} ''=R\mathbf {x} R^{-1}

где $R = mn$ - ротор.

Плоскость вращения - это плоскость, содержащая $m$ и $n$ , которые должны быть разными, иначе отражения будут одинаковыми и вращения не будет. Поскольку любой вектор может быть заменен на отрицательный, угол между ними всегда может быть острым или не более $π$ /2. Поворот осуществляется на удвоенный угол между векторами, до $π$ или пол-оборота. Смысл вращения заключается в повороте от $m$ к $n$ : геометрическое произведение не коммутативно, поэтому произведение $nm$ является обратным вращением со смыслом от $n$ до $m$ .

И наоборот, все простые вращения могут быть сгенерированы таким образом, с двумя отражениями, двумя единичными векторами в плоскости вращения, разделенными половиной желаемого угла поворота. Их можно составить для создания более общих вращений, используя до $n$ отражений, если размерность $n$ четная, $n - 2,$ если $n$ нечетная, путем выбора пар отражений, заданных двумя векторами в каждой плоскости вращения. ^[9]^[10]

Бивекторы [ править ]

Бивекторы - это величины из геометрической алгебры , алгебры Клиффорда и внешней алгебры , которые обобщают идею векторов в двух измерениях. Как векторы относятся к линиям, так и бивекторы относятся к плоскостям. Таким образом, каждая плоскость (в любом измерении) может быть связана с бивектором, а каждый простой бивектор связан с плоскостью. Это делает их удобными для описания плоскостей вращения.

С каждой плоскостью вращения во вращении связан простой бивектор. Он параллелен плоскости и имеет величину, равную углу поворота в плоскости. Эти бивекторы суммируются, чтобы получить один, как правило, непростой бивектор для всего вращения. Это может создать ротор с помощью экспоненциальной карты , которую можно использовать для вращения объекта.

Бивекторы связаны с роторами через экспоненциальную карту (которая применяется к бивекторам, генерирует роторы и вращения с использованием формулы Де Муавра ). В частности, для любого бивектора $B$ связанный с ним ротор

R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.

Это простое вращение, если бивектор простой, и более общее вращение в противном случае. В квадрате

{R_{\mathbf {B} }}^{2}=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}=e^{\mathbf {B} },

это дает ротор, который вращается на угол вдвое больший. Если $B$ простой, то это такое же вращение, как и два отражения, поскольку произведение $mn$ дает поворот на удвоенный угол между векторами. Их можно приравнять:

\mathbf {mn} =e^{\mathbf {B} },

из чего следует, что бивектор, связанный с плоскостью вращения, содержащей $m$ и $n,$ который вращает $m$ в $n,$ равен

\mathbf {B} =\log(\mathbf {mn} ).

Это простой бивектор, связанный с описанным простым вращением. Более общие вращения в четырех или более измерениях связаны с суммами простых бивекторов, по одному для каждой плоскости вращения, рассчитываемых, как указано выше.

Примеры включают два поворота в четырех измерениях, приведенные выше. Простое вращение в плоскости $zw$ на угол $θ$ имеет бивектор $e 34 θ$ , простой бивектор. Двойное вращение на $α$ и $β$ в плоскостях $xy$ и $zw$ имеет бивектор $e 12 α + e 34 β$ , сумму двух простых бивекторов $e 12 α$ и $e 34 β,$ которые параллельны двум плоскостям вращения и имеют величины равны углам поворота.

Для данного ротора связанный с ним бивектор может быть восстановлен путем логарифма ротора, который затем может быть разделен на простые бивекторы для определения плоскостей вращения, хотя на практике для всех, кроме простейших случаев, это может быть непрактично. Но учитывая простые бивекторы, геометрическая алгебра является полезным инструментом для изучения плоскостей вращения с использованием алгебры, подобной приведенной выше. ^[1]^[11]

Собственные значения и собственные плоскости [ править ]

Плоскости поворотов для конкретного вращения с использованием собственных значений . Для общей матрицы вращения в $n$ измерениях ее характеристическое уравнение имеет либо один (в нечетных измерениях), либо ноль (в четных измерениях) действительные корни. Остальные корни находятся в комплексно сопряженных парах, а именно:

\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,

такие пары. Они соответствуют плоскостям вращения, собственным плоскостям матрицы, которые могут быть вычислены с использованием алгебраических методов. Кроме того, аргументами комплексных корней являются величины бивекторов, связанных с плоскостями вращения. Форма характеристического уравнения связана с плоскостями, что позволяет связать его алгебраические свойства, такие как повторяющиеся корни, с бивекторами, где повторяющиеся величины бивекторов имеют особую геометрическую интерпретацию. ^[1]^[12]

См. Также [ править ]

Графики на SO (3)
Вращение Гивенса
Кватернионы
Группа вращения SO (3)
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

Примечания [ править ]

^ Б с д Lounesto (2001) стр. 222-223
^ Lounesto (2001) стр. 38
^ Hestenes (1999) стр. 48
^ Lounesto (2001) стр. 222
^ Lounesto (2001) стр.87
^ Lounesto (2001) pp.27-28
^ Хестенса (1999)стр 280-284
^ Lounesto (2001)стр. 83-89
^ Lounesto (2001) стр. 57–58
^ Hestenes (1999) стр. 278–280
^ Dorst, Доран, Lasenby (2002)стр. 79-89
^ Dorst, Доран, Lasenby (2002)стр. 145-154

Ссылки [ править ]

Хестенес, Дэвид (1999). Новые основы классической механики (2-е изд.). Kluwer . ISBN 0-7923-5302-1.
Лунесто, Пертти (2001). Алгебры и спиноры Клиффорда . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-00551-7.
Дорст, Лео; Доран, Крис; Ласенби, Джоан (2002). Приложения геометрической алгебры в информатике и технике . Birkhäuser . ISBN 0-8176-4267-6.

[LounestoCh17-1] Б с д Lounesto (2001) стр. 222-223

[2] Lounesto (2001) стр. 38

[3] Hestenes (1999) стр. 48

[4] Lounesto (2001) стр. 222

[5] Lounesto (2001) стр.87

[6] Lounesto (2001) pp.27-28

[7] Хестенса (1999)стр 280-284

[8] Lounesto (2001)стр. 83-89

[9] Lounesto (2001) стр. 57–58

[10] Hestenes (1999) стр. 278–280

[11] Dorst, Доран, Lasenby (2002)стр. 79-89

[12] Dorst, Доран, Lasenby (2002)стр. 145-154

[1]

vтеИзмерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 n -размеры Отрицательные размеры
Категория