Плюригармоническая функция

В математике , а именно в теории функций нескольких комплексных переменных , плюригармоническая функция - это вещественнозначная функция, которая локально является действительной частью голоморфной функции нескольких комплексных переменных. Иногда такая функция называется п -гармонической функции , где п ≥ 2 является измерением в комплексной области , где определена функция. ^[1] Однако в современных изложениях теории функций многих комплексных переменных ^[2]предпочтительно дать эквивалентную формулировку концепции путем определения плюригармонической функции как комплекснозначной функции, ограничение которой на каждую сложную линию является гармонической функцией по отношению к действительной и мнимой части параметра комплексной линии.

Формальное определение [ править ]

Определение 1 . Пусть $G \subseteq ℂ n$ - комплексная область, а $f : G \to ℂ$ - $функция класса$ $C 2$ (дважды непрерывно дифференцируемая ). Функция $f$ называется плюригармонической, если для каждой комплексной прямой

{\ displaystyle \ {a + bz \ mid z \ in \ mathbb {C} \} \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}

образованная каждой парой комплексных наборов $a, b \in ℂ n$ , функция

{\ displaystyle z \ mapsto f (a + bz)}

- гармоническая функция на множестве

\{z\in \mathbb {C} \mid a+bz\in G\}\subset \mathbb {C} .

Основные свойства [ править ]

Каждая плюригармоническая функция - это гармоническая функция , но не наоборот. Далее, можно показать, что для голоморфных функций нескольких комплексных переменных действительная (и мнимая) части являются локально плюригармоническими функциями. Однако то, что функция является гармонической по каждой переменной в отдельности, не означает, что она является плюригармонической.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ См., Например, ( Severi 1958 , p. 196) и ( Rizza 1955 , p. 202). Пуанкаре (1899 , стр. 111–112) называет такие функции « fonctions biharmoniques », независимо от размерности n ≥ 2: его статья, возможно,^{[ цитата ]} является более старой, в которой плюригармонический оператор выражается с использованием частного дифференциала первого порядка. операторы теперь называются производными Виртингера .
^ См, например, популярный учебник по Кранц (1992 , стр. 92) и продвинутый (даже если немного устаревшей) монография по Ганнинга и Росси (1965 , стр. 271).

Исторические ссылки [ править ]

Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , ряды Прентис-Холла в современном анализе, Englewood Cliffs , NJ: Prentice-Hall , pp. Xiv + 317, ISBN 9780821869536, Руководство по ремонту 0180696 , Zbl 0141.08601.
Кранц, Стивен Г. (1992), Теория функций нескольких комплексных переменных , Серия математики Уодсворта и Брукса / Коула (второе изд.), Пасифик Гроув, Калифорния : Уодсворт и Брукс / Коул, стр. Xvi + 557, ISBN 0-534-17088-9, Руководство по ремонту 1162310 , Zbl 0776.32001.
Пуанкаре, Х. (1899), "Суры ль дю potentiel Свойство и др сюры ль fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 89-178, DOI : 10.1007 / BF02417872 , СУЛ 29.0370.02.
Севери, Франческо (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (на итальянском языке), Padova: CEDAM - Casa Editrice Dott. Антонио Милани, стр. XIV + 255, Zbl 0094.28002. Заметки из курса, проведенного Франческо Севери в Институте национале ди Альта Математика (который в настоящее время носит его имя), содержащий приложения Энцо Мартинелли , Джованни Баттиста Рицца и Марио Бенедикти . Английский перевод названия звучит так: - « Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - Читал лекции в 1956–57 в Национальном институте математики ди Альта в Риме ».

Ссылки [ править ]

Аморосо, Луиджи (1912), "Сопра ип проблема- аль Contorno" , Rendiconti дель Circolo Matematico ди Палермо (на итальянском), 33 (1): 75-85, DOI : 10.1007 / BF03015289 , СУЛ 43.0453.03. Первая статья, в которой дан набор (достаточно сложных) необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для голоморфных функций многих переменных . Английский перевод названия читается как: - « О краевой задаче ».
Fichera, Gaetano (1982a), "Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche", Atti del Convegno Celebrativo dell'80 ° anniversario della nascita di Renato Calapso, Мессина – Таормина, 1–4 апреля 1981 г. (на итальянском языке), Roma: Libreria Eredi Вирджилио Вески, стр. 127–152, MR 0698973 , Zbl 0958.32504. « Краевые задачи для плюригармонических функций » (английский перевод названия) посвящены краевым задачам для плюригармонических функций: Фичера доказывает условие следа для разрешимости задачи и рассматривает несколько более ранних результатов Энцо Мартинелли, Джованни Баттиста Рицца и Франческо. Севери.
Фичера, Гаэтано (1982b), "Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R ^{2 n} di un teorema di L. Amoroso", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (на итальянском языке), 52 (1): 23– 34, DOI : 10.1007 / BF02924996 , МР 0802991 , Zbl +0569,31006. Английский перевод названия читается как: - « Граничные значения плюригармонических функций: расширение на пространство R ^{2 n} теоремы Л. Аморосо ».
Фичера, Гаэтано (1982c), «Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (на итальянском языке), 27 : 327–333, MR 0669481 , Zbl 0509.3. Английский перевод названия читается как: - « Об одной теореме Л. Аморосо из теории аналитических функций двух комплексных переменных ».
Мацугу, Ясуо (1982), «Плюригармонические функции как действительные части голоморфных функций», Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю , серия A, математика, 36 (2): 157–163, doi : 10.2206 / kyushumfs.36.157 , Руководство по ремонту 0676796 , Zbl 0501.32008.
Nikliborc, Ladislas (30 марта 1925), "Sur ле fonctions hyperharmoniques" , Comptes Rendus hebdomadaires де де l'сеансы Академии наук (на французском языке), 180 : 1008-1011, JFM 51.0364.02, доступно на Gallica
Nikliborc, Ladislas (11 января 1926), "Sur ле fonctions hyperharmoniques" , Comptes Rendus hebdomadaires де де l'сеансы Академии наук (на французском языке), 182 : 110-112, JFM 52.0498.02, доступно на Gallica
Рица, GB (1955), "Задача Дирихле для п -гармонические функций и связанных с ними геометрических задач" , Mathematische Annalen , 130 : 202-218, DOI : 10.1007 / BF01343349 , МР 0074881 , Zbl +0067,33004, доступный на DigiZeitschirften .

Внешние ссылки [ править ]

Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Плюригармоническая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press

Эта статья включает материал из плюригармонической функции PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[1] См., Например, ( Severi 1958 , p. 196) и ( Rizza 1955 , p. 202). Пуанкаре (1899 , стр. 111–112) называет такие функции « fonctions biharmoniques », независимо от размерности n ≥ 2: его статья, возможно,^{[ цитата ]} является более старой, в которой плюригармонический оператор выражается с использованием частного дифференциала первого порядка. операторы теперь называются производными Виртингера .

[2] См, например, популярный учебник по Кранц (1992 , стр. 92) и продвинутый (даже если немного устаревшей) монография по Ганнинга и Росси (1965 , стр. 271).

[1]