Двойственность (проективная геометрия)
В геометрии поразительной особенностью проективных плоскостей является симметрия ролей, которые играют точки и линии в определениях и теоремах, а ( плоскостная ) двойственность является формализацией этого понятия. Есть два подхода к предмету двойственности: один через язык ( § Принцип двойственности ), а другой — более функциональный подход через специальные отображения . Они полностью эквивалентны, и любой подход имеет в качестве отправной точки аксиоматическоевариант рассматриваемой геометрии. В функциональном подходе существует карта между связанными геометриями, которая называется двойственностью . Такую карту можно построить разными способами. Концепция плоской двойственности легко распространяется на пространственную двойственность и далее на двойственность в любой конечномерной проективной геометрии .
Проективная плоскость C может быть определена аксиоматически как структура инцидентности в терминах множества точек P , множества линий L и отношения инцидентности I , которое определяет, какие точки лежат на каких линиях . Эти наборы могут быть использованы для определения плоской дуальной структуры .
Если C и C ∗ изоморфны, то C называется самодвойственным . Проективные плоскости PG(2, K ) для любого поля (или, вообще говоря, для каждого тела (тела), изоморфного своему двойственному) K самодвойственны. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако существуют недезарговские плоскости , которые не являются самодвойственными, например плоскости Холла, и некоторые из них, такие как плоскости Хьюза .
В проективной плоскости утверждение, включающее точки, прямые и инцидентность между ними, которое получается из другого такого же утверждения заменой слов «точка» и «линия» и внесением любых необходимых грамматических корректировок, называется плоскостным двойственным утверждением первого. . Плоское двойственное утверждение «Две точки находятся на уникальной прямой» звучит так: «Две прямые пересекаются в единственной точке». Формирование плоскости, двойственной высказыванию, известно как дуализация высказывания.
Если утверждение истинно в проективной плоскости C , то плоскость, двойственная этому утверждению, должна быть истинной в двойственной плоскости C ∗ . Это следует из того, что дуализация каждого утверждения доказательства «в C » дает соответствующее утверждение доказательства «в C ∗ ».
Принцип плоскостной двойственности гласит, что дуализация любой теоремы в самодуальной проективной плоскости C дает другую теорему, действительную в C . [1]
