Полиномиально рефлексивное пространство

В математике , А полиномиально рефлексивное пространство является пространство Банаха X , на котором пространство всех многочленов в каждой степени является рефлексивным пространством .

Для полилинейного функционала M _n степени n ( т. Е. M _n является n -линейным), мы можем определить многочлен p как

${\ Displaystyle р (х) = M_ {п} (х, \ точки, х)}$

(то есть, применяя M _n по диагонали ) или любую их конечную сумму. Если в сумме находятся только n- линейные функционалы, то многочлен называется n -однородным.

Определим пространство P _n как состоящее из всех n -однородных многочленов.

Р ₁ идентичен сопряженное пространство , и, таким образом , рефлексивная для всех рефлексивного X . Это означает, что рефлексивность является предпосылкой полиномиальной рефлексивности.

Связь с непрерывностью форм [ править ]

На конечномерном линейном пространстве квадратичная форма x ↦ f ( x ) всегда является (конечной) линейной комбинацией произведений x ↦ g ( x ) h ( x ) двух линейных функционалов g и h . Следовательно, предполагая, что скаляры являются комплексными числами, каждая последовательность x _n, удовлетворяющая g ( x _n ) → 0 для всех линейных функционалов g , удовлетворяет также f ( x _n ) → 0 для всех квадратичных форм f .

В бесконечном измерении ситуация иная. Например, в гильбертовом пространстве , А.Н. ортонормирована последовательность х _п удовлетворяет условию г ( х _п ) → 0 для всех линейных функционалов г , и , тем не менее е ( х _п ) = 1 , где F является квадратичной формой F ( х ) = || х || ² . Говоря более техническими словами, эта квадратичная форма не может быть слабо последовательно непрерывной в начале координат.

На рефлексивном банаховом пространстве со свойством аппроксимации следующие два условия эквивалентны: ^[1]

• каждая квадратичная форма слабо секвенциально непрерывна в нуле;
• банахово пространство всех квадратичных форм рефлексивно.

Квадратичные формы - это 2-однородные многочлены. Указанная выше эквивалентность имеет место и для n -однородных многочленов, n = 3,4, ...

Примеры [ править ]

Для пространств , в Р _п рефлексивно тогда и только тогда , когда п < р . Таким образом, no полиномиально рефлексивно. ( исключено, потому что не является рефлексивным.)${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$

Таким образом, если банахово пространство допускает как фактор-пространство , оно не является полиномиально рефлексивным. Это делает полиномиально рефлексивные пространства редкими.${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

Пространство Цирельсона Т * полиномиально рефлексивно. ^[2]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Alencar, R., Aron, R. и S. Dineen (1984), "Рефлексивное пространство голоморфных функций от бесконечного числа переменных", Proc. Амер. Математика. Soc. 90 : 407–411.
• Фармер, Джефф Д. (1994), "Полиномиальная рефлексивность в банаховых пространствах", Израильский математический журнал 87 : 257–273. MR 1286830
• Харамилло, Дж. И Мораес, Л. (2000), "Двойственность и рефлексивность в пространствах многочленов", Arch. Математика. (Базель) 74 : 282–293. Руководство по ремонту 1742640
• Мухика, Хорхе (2001), "Рефлексивные пространства однородных многочленов", Бюлл. Польский акад. Sci. Математика. 49 : 3, 211–222. Руководство по ремонту 1863260