В математике , особенно в функциональном анализе , то Цирельсон пространство является первым примером банахова пространства , в котором ни ℓ р пространство , ни с 0 пространство может быть внедрено. Пространство Цирельсона рефлексивно .
Он был введен Б.С. Цирельсоном в 1974 году. В том же году Фигил и Джонсон опубликовали соответствующую статью ( Figiel & Johnson (1974) ), в которой они использовали обозначение T для двойственного примера Цирельсона. Сегодня буква T является стандартным обозначением [1] для двойника исходного примера, в то время как исходный пример Цирельсона обозначается T *. В T * или в T никакое подпространство не изоморфно , как банахово пространство, пространству ℓ p , 1 ≤ p <∞, или c 0 .
Все классические банаховы известного Банаху (1932) , пространство непрерывных функций , из дифференцируемых функций или интегрируемых функций , и все банаховы пространство , используемое в функциональном анализе в течение следующих сорока лет, содержат некоторое количество л р или с 0 . Кроме того, новые попытки в начале 70-х годов [2] продвинуть геометрическую теорию банаховых пространств привели к вопросу [3], имеет ли каждое бесконечномерное банахово пространство подпространство, изоморфное некоторому ℓ p или c 0 .
Радикально новая конструкция Цирельсона лежит в основе нескольких дальнейших разработок в теории банаховых пространств: произвольно искажаемого пространства Шлумпрехта ( Schlumprecht (1991) ), от которого зависит решение Гауэрса гиперплоской задачи Банаха [4] и решение Оделла – Шлумпрехта. к проблеме искажения . Кроме того, некоторые результаты Argyros et al. [5] основаны на порядковых уточнениях конструкции Цирельсона, кульминацией которых стало решение Аргироса – Хейдона скалярной плюс компактной задачи. [6]
Строительство Цирельсона
На векторном пространстве л ∞ ограниченных последовательностей скалярных х = { х J } J ∈ N , пусть P п обозначают линейный оператор , который устанавливает к нулю все координаты х J из х , для которых J ≤ п .
Конечная последовательность векторов из ℓ ∞ называется блочно-непересекающейся, если существуют натуральные числа чтобы , так что когда или же , Для каждого п от 1 до N .
Единичный шар B ∞ из л ∞ является компактным и метризуемым для топологии поточечной сходимости ( топологии продукта ). Решающий шаг в конструкции Цирельсона - позволить K быть наименьшим поточечно замкнутым подмножеством B ∞, удовлетворяющим следующим двум свойствам: [7]
- а. Для каждого целого J в N , с единичным вектором е J и все кратные , при | λ | ≤ 1, принадлежат K .
- б. Для любого целого N ≥ 1, если блочно-непересекающаяся последовательность в K , то принадлежит K .
Это множество K удовлетворяет следующему свойству устойчивости:
- c. Вместе с каждым элементом x из K множество K содержит все векторы y из ℓ ∞ такие, что | y | ≤ | х | (для поточечного сравнения).
Затем показано, что K на самом деле является подмножеством c 0 , банахова подпространства в ∞, состоящего из скалярных последовательностей, стремящихся к нулю на бесконечности. Это делается путем доказательства того, что
- d: для каждого элемента x в K существует целое число n такое, что 2 P n ( x ) принадлежит K ,
и повторяя этот факт. Поскольку K поточечно компактно и содержится в c 0 , оно слабо компактно в c 0 . Пусть V замкнутая выпуклая оболочка из K в с 0 . Это также слабо компактное множество в c 0 . Показано, что V удовлетворяет b , c и d .
Цирельсон пространство Т * -банахово пространство, единичный шар является V . Базис единичного вектора является безусловным базисом для T *, а T * рефлексивен. Следовательно, T * не содержит изоморфной копии c 0 . Остальные ℓ p пространств, 1 ≤ p <∞, исключаются по условию b .
Характеристики
Цирельсон пространства Т * является возвратным ( Цирельсон (1974) ) и конечно универсальный , что означает , что для некоторой константы C ≥ 1 , пространство Т * содержит C -изоморфна копию каждого конечномерного нормированного пространства, а именно, для каждого конечномерен нормированное пространство X , существует подпространство Y пространств Цирельсон с мультипликативным расстоянием Банаха-Мазур на X меньше , чем C . Фактически, каждое конечно универсальное банахово пространство содержит почти изометрические копии любого конечномерного нормированного пространства [8], что означает, что C можно заменить на 1 + ε для любого ε> 0 . Кроме того, всякое бесконечномерное подпространство в T * конечно универсально. С другой стороны, каждое бесконечномерное подпространство в двойственном T к T * содержит почти изометрические копии, n -мерное ℓ 1 -пространство для всех n .
Цирельсон пространство Т является distortable , но не известно , является ли она произвольно distortable .
Пространство Т * - минимальное банахово пространство. [9] Это означает, что каждое бесконечномерное банахово подпространство в T * содержит дополнительное подпространство, изоморфное T * . До построения T * единственными известными примерами минимальных пространств были ℓ p и c 0 . Двойственное пространство T не минимально. [10]
Пространство Т * является полиномиально рефлексивным .
Производные пространства
Симметричное Цирельсон пространство S ( Т ) полиномиально рефлексивный и имеет свойство аппроксимации . Как и T , он рефлексивен, и в него нельзя вложить ℓ p- пространство.
Поскольку оно симметрично, его можно определить даже на несчетном опорном множестве, что дает пример неразделимого полиномиально рефлексивного банахова пространства .
Смотрите также
- Проблема искажения
- Пространство последовательностей , базис Шаудера
- Пространство Джеймса
Заметки
- ^ см., например, Casazza & Shura (1989) , стр. 8; Lindenstrauss & Tzafriri (1977) , стр. 95; Справочник по геометрии банаховых пространств , т. 1, стр. 276; т. 2, стр. 1060, 1649.
- ^ см. Lindenstrauss (1970) , Milman (1970) .
- ^ Вопрос четко сформулирован в Lindenstrauss (1970) , Milman (1970) , Lindenstrauss (1971) на последней странице. Lindenstrauss & Tzafriri (1977) , стр. 95, говорят, что этот вопрос был « давней открытой проблемой, восходящей к книге Банаха » ( Banach (1932) ), но этот вопрос не появляется в книге Банаха. Однако, банахово сравнивает линейный размер из л р , что и других классических пространств, несколько похожий вопрос.
- ^ Вопрос в том, изоморфно ли всякое бесконечномерное банахово пространство своим гиперплоскостям. Отрицательное решение содержится в Гауэрсе, « Решение проблемы гиперплоскости Банаха ». Бык. Лондонская математика. Soc. 26 (1994), 523-530.
- ^ например, С. Аргирос и В. Фелузис, " Интерполяция наследственно неразложимых банаховых пространств ", Journal Amer. Математика. Soc., 13 (2000), 243–294; С. Аргирос и А. Толиас, " Методы теории наследственно неразложимых банаховых пространств ", Mem. Амер. Математика. Soc. 170 (2004), нет. 806.
- ^ С. Аргирос и Р. Хейдон построили банахово пространство, на котором каждый ограниченный оператор является компактным возмущением скалярного кратного тождества, в « наследственно неразложимом L ∞ -пространстве, которое решает проблему скалярных плюс-компактностей », Acta Mathematica (2011) 206: 1-54.
- ^ условия b , c , d здесь являются условиями (3), (2) и (4) соответственно в Цирельсоне (1974) , а a - это модифицированная форма условия (1) из той же статьи.
- ^ это связано с тем, что для любых n , C и ε существует такое N , что каждый C- изоморф ∞ N содержит (1 + ε) -изоморф ∞ n по технике блокировки Джеймса (см. лемму 2.2 в книге Роберта С. Джеймс « Равномерно неквадратные банаховы пространства », Annals of Mathematics, Vol. 80, 1964, pp. 542-550), и потому, что каждое конечномерное нормированное пространство (1 + ε) -встраивается в ∞ n, когда n достаточно большой.
- ^ см. Casazza & Shura (1989) , стр. 54.
- ^ см. Casazza & Shura (1989) , стр. 56.
Рекомендации
- Цирельсон, Б. С. (1974), « ' Не каждый банахово пространство содержит вложение л р и гр 0 », Функциональный анализ и его приложения , 8 : 138-141, дой : 10.1007 / BF01078599 , МР 0350378 .
- Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
- Figiel, T .; Джонсон, ВБ (1974), "равномерно выпуклое банахово пространство , которое не содержит л р " , Compositio Mathematica , 29 : 179-190, МР 0355537.
- Casazza, Питер G .; Шура, Таддеус Дж. (1989), Пространство Цирельсона , Лекционные заметки по математике, 1363 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-50678-0, Руководство по ремонту 0981801.
- Джонсон, Уильям Б .; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2001), Справочник по геометрии банаховых пространств , 1 , Elsevier.
- Джонсон, Уильям Б .; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2003), Справочник по геометрии банаховых пространств , 2 , Elsevier.
- Линденштраусс, Йорам (1970), "Некоторые аспекты теории банаховых пространств", Успехи математических наук , 5 : 159-180, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (70) 90032-0.
- Lindenstrauss, Joram (1971), "Геометрическая теория классических банаховых пространств", Actes du Congrès Intern. Math., Nice 1970 : 365–372.
- Линденштраус, Иорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
- Мильман В.Д. Геометрическая теория банаховых пространств. I. Теория основных и минимальных систем, Успехи матем. Наук , 25 вып. 3: 113–174. Английский перевод в русской математике. Обзоры 25 (1970), 111-170.
- Schlumprecht, Th. (1991), «Произвольное искажаемое банахово пространство», Израильский математический журнал , 76 : 81–95, arXiv : math / 9201225 , doi : 10.1007 / bf02782845 , ISSN 0021-2172 , MR 1177333.
Внешние ссылки
- Воспоминания Бориса Цирельсона на своей странице в сети