Если и два конечномерные нормированные пространства с той же размерности, пусть обозначим совокупность всех линейных изоморфизмов Обозначим через к операторной норме такой линейной карты - фактор максимальной , с помощью которого он «удлиняет» векторов. Расстояние Банаха – Мазура между и определяется равенством
Имеет место тогда и только тогда, когда пространства и изометрически изоморфны. Обладая метрикой δ , пространство классов изометрий -мерных нормированных пространств становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха – Мазура.
Многие авторы предпочитают работать с мультипликативным расстоянием Банаха – Мазура.
для чего и
Характеристики
Теорема Ф. Джона о максимальном эллипсоиде, содержащемся в выпуклом теле, дает оценку:
где обозначает с евклидовой нормой (см. статью о пространствах ). Из этого следует, что для всех Однако для классических пространств эта верхняя оценка диаметра далека от приближающейся. Например, расстояние между и (только) порядка (вплоть до мультипликативной константы, не зависящей от размерности ).
Большое достижение в направлении оценки диаметра принадлежит Э. Глускину, который в 1981 году доказал, что (мультипликативный) диаметр компакта Банаха – Мазура ограничен снизу величиной для некоторой универсальной
Метод Глускина вводит класс случайных симметричных многогранников в и нормированных пространствах , имеющих в качестве единичного шара (вектор пространства и норма является калибровочной из ). Доказательство состоит в том, чтобы показать, что требуемая оценка верна с большой вероятностью для двух независимых копий нормированного пространства.
Томчак-Егерманн, Николь (1989). Расстояния Банаха-Мазура и конечномерные операторные идеалы . Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике 38. Longman Scientific & Technical, Harlow; опубликовано в США совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. С. xii + 395. ISBN 0-582-01374-7. Руководство по ремонту 0993774 .
https://planetmath.org/BanachMazurCompactum
Заметка о расстоянии Банаха-Мазура до куба
Компакт Банаха-Мазура - это компактификация Александрова гильбертова кубического многообразия.
vтеФункциональный анализ ( темы - глоссарий )
Пространства
Банах
Бесов
Фреше
Гильберта
Hölder
Ядерная
Орлич
Шварц
Соболев
топологический вектор
Характеристики
ствол
полный
дуальный ( алгебраический / топологический )
локально выпуклый
рефлексивный
отделяемый
Теоремы
Хан-Банах
закрытый график
принцип равномерной ограниченности
Фиксированная точка Какутани
Крейн – Мильман
мин Макс
Гельфанд – Наймарк
Банах – Алаоглу
Операторы
прилегающий
ограниченный
компактный
Гильберта-Шмидта
нормальный
ядерный
класс трассировки
транспонировать
неограниченный
унитарный
Алгебры
Банахова алгебра
C * -алгебра
спектр C * -алгебры
операторная алгебра
групповая алгебра локально компактной группы
алгебра фон Неймана
Открытые проблемы
проблема инвариантного подпространства
Гипотеза Малера
Приложения
Харди космос
спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений