Потенциальная теория
Термин «потенциальная теория» был придуман в физике 19-го века , когда стало понятно, что две фундаментальные силы природы, известные в то время, а именно гравитация и электростатическая сила, могут быть смоделированы с использованием функций, называемых гравитационным потенциалом и электростатическим потенциалом . которые удовлетворяют уравнению Пуассона или в вакууме уравнению Лапласа .
Существует значительное совпадение между теорией потенциала и теорией уравнения Пуассона до такой степени, что невозможно провести различие между этими двумя областями. Разница заключается скорее в акценте, чем в предмете, и основывается на следующем различии: теория потенциала фокусируется на свойствах функций, а не на свойствах уравнения. Например, говорят, что результат об особенностях гармонических функций относится к теории потенциала, а результат о том, как решение зависит от граничных данных, относится к теории уравнения Лапласа. Это не является жестким и быстрым различием, и на практике между двумя областями существует значительное совпадение, когда методы и результаты одной используются в другой.
Современная теория потенциала также тесно связана с вероятностью и теорией цепей Маркова . В непрерывном случае это тесно связано с аналитической теорией. В случае конечного пространства состояний эту связь можно ввести, введя электрическую сеть в пространстве состояний с сопротивлением между точками, обратно пропорциональным вероятности перехода, и плотностью, пропорциональной потенциалам. Даже в конечном случае аналог ИК лапласиана в теории потенциала имеет свой принцип максимума, принцип единственности, принцип баланса и другие.
Полезной отправной точкой и организующим принципом в изучении гармонических функций является рассмотрение симметрии уравнения Лапласа. Хотя это и не симметрия в обычном смысле этого слова, мы можем начать с наблюдения, что уравнение Лапласа является линейным . Это означает, что основным объектом изучения в теории потенциала является линейное пространство функций. Это наблюдение окажется особенно важным, когда мы будем рассматривать подходы функционального пространства к предмету в следующем разделе.
Что касается симметрии в обычном смысле этого слова, то мы можем начать с теоремы о том, что симметрии -мерного уравнения Лапласа в точности являются конформными симметриями -мерного евклидова пространства . Этот факт имеет несколько следствий. Прежде всего, можно рассматривать гармонические функции, которые преобразуются при неприводимых представлениях конформной группы или ее подгрупп (таких как группа вращений или сдвигов). Действуя таким образом, можно систематически получать решения уравнения Лапласа, которые возникают в результате разделения переменных, таких как решения по сферическим гармоникам и ряды Фурье .. Взяв линейные суперпозиции этих решений, можно создать большие классы гармонических функций, которые, как можно показать, будут плотными в пространстве всех гармонических функций при подходящих топологиях.
Во-вторых, конформную симметрию можно использовать для понимания таких классических приемов и приемов создания гармонических функций, как преобразование Кельвина и метод изображений .