В римановой геометрии , ветвь математики , то прописывают скалярная проблема кривизны заключается в следующем: дано замкнутое , гладкое многообразие М и гладкая, вещественная функция ƒ на М , построить риманова метрика на М , чья скалярная кривизна равна ƒ . Эта проблема хорошо изучена в первую очередь благодаря работам Дж. Каздана и Ф. Уорнера 1970-х годов.
Решение в высших измерениях
Если размерность M равна трем или больше, то любая гладкая функция ƒ, которая принимает где-то отрицательное значение, является скалярной кривизной некоторой римановой метрики. Предположение о том, что ƒ быть отрицательным где - то необходимо в целом, так как не все многообразия допускают метрики , которые имеют строго положительную скалярную кривизну. (Например, трехмерный тор является таким многообразием.) Однако Каздан и Уорнер доказали, что если M допускает некоторую метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция ƒ является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.
Смотрите также
Рекомендации
- Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии. Монографии Спрингера по математике, 1998.
- Каздан Дж., Уорнер Ф. Скалярная кривизна и конформная деформация римановой структуры. Журнал дифференциальной геометрии. 10 (1975). 113–134.