Представление моноида

Эта статья может сбивать читателей с толку или непонятна . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Февраль 2009 г. )

В алгебре , представление моноида (или представление полугруппы ) является описание моноида (или полугруппа ) в терминах множества Е образующих и множество отношений на свободном моноидных Е ^* (или бесплатно полугруппа Σ ⁺ ), порожденная Σ . Затем моноид представляется как фактор свободного моноида (или свободной полугруппы) по этим отношениям. Это аналог группового изложения в теории групп .

Как математическая структура, моноидное представление идентично системе переписывания строк (также известной как система полутхуэ). Каждый моноид может быть представлен полу-системой Туэ (возможно, над бесконечным алфавитом). ^[1]

Не следует путать презентацию с представлением .

Строительство [ править ]

Отношения задаются как (конечное) бинарное отношение R на Σ ^∗ . Чтобы сформировать фактор-моноид, эти отношения распространяются на моноидные сравнения следующим образом:

Во- первых, имеет симметричную замыкание R ∪ R ^-1 из R . Затем это расширяется до симметричного отношения E ⊂ Σ ^∗ × Σ ^∗ путем определения x ∼ _E y тогда и только тогда, когда x = sut и y = svt для некоторых строк u , v , s , t ∈ Σ ^∗ с ( u , v ) ∈ R ∪ R ⁻¹. Наконец, берется рефлексивное и транзитивное замыкание E , которое в таком случае является моноидной конгруэнцией.

В типичной ситуации отношение R просто задается в виде набора уравнений, так что . Так, например,${\ Displaystyle R = \ {u_ {1} = v_ {1}, \ ldots, u_ {n} = v_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ langle p, q \, \ vert \; pq = 1 \ rangle}$

- эквациональное представление бициклического моноида , а

${\ Displaystyle \ langle a, b \, \ vert \; aba = baa, bba = bab \ rangle}$

- пластический моноид степени 2 (бесконечный порядок). Элементы этого пластического моноида могут быть записаны как целые числа i , j , k , поскольку соотношения показывают, что ba коммутирует как с a, так и с b .${\ displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}$

Обратные моноиды и полугруппы [ править ]

Представления инверсных моноидов и полугрупп могут быть определены аналогичным образом с помощью пары

${\ Displaystyle (Х; Т)}$

куда

${\ Displaystyle (Х \ чашка X ^ {- 1}) ^ {*}}$

- свободный моноид с инволюцией на , а${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle T \ substeq (X \ cup X ^ {- 1}) ^ {*} \ times (X \ cup X ^ {- 1}) ^ {*}}$

это бинарное отношение между словами. Обозначим через (соответственно ) по отношению эквивалентности (соответственно, конгруэнтность ) , порожденную Т .${\ Displaystyle Т ^ {\ mathrm {е}}}$${\ Displaystyle Т ^ {\ mathrm {c}}}$

Мы используем эту пару объектов для определения обратного моноида

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

Пусть - конгруэнция Вагнера на , определим обратный моноид${\displaystyle \rho _{X}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

представленный на качестве${\displaystyle (X;T)}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

В предыдущем обсуждении, если заменить всюду с получает представление (для инверсной полугруппы) и инверсной полугруппы , представленных на .${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$ ${\displaystyle (X;T)}$${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$ ${\displaystyle (X;T)}$

Тривиальный, но важный пример - свободный обратный моноид (или свободная обратная полугруппа ) на , который обычно обозначается (соответственно ) и определяется как${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

или же

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джон М. Хауи, Основы теории полугрупп (1995), Clarendon Press, Oxford ISBN  0-19-851194-9
• М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции Де Грюйтера по математике, т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 . 
• Рональд В. Бук и Фридрих Отто, Системы перезаписи строк , Springer, 1993, ISBN 0-387-97965-4 , глава 7, «Алгебраические свойства»