Pushforward (гомология)

В алгебраической топологии , то прямой образом из непрерывной функции  : между двумя топологическими пространствами является гомоморфизмом между группами гомологии для .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle f _ {*}: H_ {n} \ left (X \ right) \ rightarrow H_ {n} \ left (Y \ right)}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

Гомологии - это функтор, который превращает топологическое пространство в последовательность групп гомологий . (Часто набор всех таких групп упоминается с использованием обозначений ; этот набор имеет структуру градуированного кольца .) В любой категории функтор должен индуцировать соответствующий морфизм . Подтверждением является морфизм, соответствующий функтору гомологии.${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Н_ {п} \ влево (Х \ вправо)}$${\ Displaystyle Н _ {*} \ влево (Х \ вправо)}$

Определение сингулярных и симплициальных гомологий [ править ]

Мы строим прямой гомоморфизм следующим образом (для сингулярных или симплициальных гомологий):

Во- первых , мы имеем индуцированный гомоморфизм между сингулярной или симплициальном цепи сложного и определяемой составляющих каждой особой н- симплекс  : с , чтобы получить уникальный N-симплекс ,  : . Затем мы продолжаем линейно через .${\ Displaystyle C_ {п} \ влево (X \ вправо)}$${\ Displaystyle C_ {п} \ влево (Y \ вправо)}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \Delta ^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{\#}\left(\sigma _{X}\right)=f\sigma _{X}}$${\displaystyle \Delta ^{n}\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle f_{\#}\left(\sum _{t}n_{t}\sigma _{t}\right)=\sum _{t}n_{t}f_{\#}\left(\sigma _{t}\right)}$

Карты  : удовлетворяют, где находится граничный оператор между цепными группами, поэтому определяет цепную карту .${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle C_{n}\left(X\right)\rightarrow C_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle f_{\#}\partial =\partial f_{\#}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial f_{\#}}$

У нас есть, что переводит циклы в циклы, поскольку подразумевает . Также берет границы до границ, так как .${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle \partial \alpha =0}$${\displaystyle \partial f_{\#}\left(\alpha \right)=f_{\#}\left(\partial \alpha \right)=0}$${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle f_{\#}\left(\partial \beta \right)=\partial f_{\#}\left(\beta \right)}$

Следовательно, индуцирует гомоморфизм между группами гомологий для .${\displaystyle f_{\#}}$${\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle n\geq 0}$

Свойства и гомотопическая инвариантность [ править ]

Два основных свойства проталкивания вперед:

1. ${\displaystyle \left(f\circ g\right)_{*}=f_{*}\circ g_{*}}$для составления карт .${\displaystyle X{\overset {f}{\rightarrow }}Y{\overset {g}{\rightarrow }}Z}$
2. ${\displaystyle \left({\text{id}}_{X}\right)_{*}={\text{id}}}$где  : относится к тождественной функции и относится к тождественному изоморфизму групп гомологии.${\displaystyle {\text{id}}_{X}}$${\displaystyle X\rightarrow X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{id}}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(X\right)}$

Главный результат о выталкивании - гомотопическая инвариантность : если два отображения гомотопны, то они индуцируют один и тот же гомоморфизм .${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{*}=g_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$

Отсюда сразу следует, что группы гомологий гомотопически эквивалентных пространств изоморфны:

Отображения, индуцированные гомотопической эквивалентностью, являются изоморфизмами для всех .${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle n}$

Ссылки [ править ]

• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, ISBN  0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0