Повороты эллиптических кривых

В математической области алгебраической геометрии эллиптическая кривая E над полем K имеет ассоциированный квадратичный поворот , то есть другую эллиптическую кривую, которая изоморфна E над алгебраическим замыканием K. В частности, изоморфизм между эллиптическими кривыми является изогенией степени 1, то есть обратимая изогения. Некоторые кривые имеют скручивания более высокого порядка, такие как скручивания кубической и четвертой степени . Кривая и ее повороты имеют один и тот же j-инвариант .

Применение поворотов включает криптографию, ^[1] решение диофантовых уравнений , ^[2]^[3] и при обобщении на гиперэллиптические кривые изучение гипотезы Сато-Тейта . ^[4]

Сначала предположим , что это поле характеристики , отличной от 2. Пусть - эллиптическая кривая вида: ${\ Displaystyle К}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle К}$

Если не квадрат в , квадратичный поворот представляет собой кривую , определяемую уравнением: ${\ Displaystyle д \ NEQ 0}$ ${\ Displaystyle К}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle Е ^ {д}}$

Две эллиптические кривые и изоморфны не над , а над расширением поля . Качественно говоря, арифметика кривой и ее квадратичная крутка могут выглядеть в поле очень по-разному , в то время как комплексный анализ кривых одинаков; и поэтому семейство кривых, связанных скручиванием, становится полезной обстановкой для изучения арифметических свойств эллиптических кривых. ^[5] ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle Е ^ {д}}$ ${\ Displaystyle К}$ ${\ Displaystyle К ({\ sqrt {d}})}$ ${\ Displaystyle К}$

Повороты также могут быть определены, когда базовое поле имеет характеристику 2. Пусть - эллиптическая кривая вида : ${\ Displaystyle К}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle К}$