Квантовый граф

В математике и физике , А квантовый граф является линейной, сетевой-образной структурой вершин , соединенных по краям (т.е. график ) , в котором каждое ребре дается длиной и где дифференциальный (или псевдо-дифференциальный) уравнение ставятся на каждом край. Примером может быть электрическая сеть, состоящая из линий электропередач (ребер), соединенных на трансформаторных подстанциях (вершинах); тогда дифференциальные уравнения будут описывать напряжение вдоль каждой из линий с граничными условиями для каждого ребра, предусмотренными в смежных вершинах, гарантирующих, что ток, добавленный по всем ребрам, прибавляется к нулю в каждой вершине.

Квантовые графы были впервые изучены Линусом Полингом как модели свободных электронов в органических молекулах в 1930-х годах. Они также возникают в различных математических контекстах ^[1] , например, как модельные системы в квантовом хаосе , при изучении волноводов , в фотонных кристаллах и при локализации Андерсона , или как ограничение на сжатие тонких проводов. Квантовые графы стали известными моделями в мезоскопической физике, используемыми для получения теоретического понимания нанотехнологий . Другое, более простое понятие квантовых графов было введено Фридманом и др. ^[2]

Помимо фактического решения дифференциальных уравнений, представленных на квантовом графе для конкретных приложений, типичные вопросы, которые возникают, - это вопросы управляемости (какие входные данные необходимо предоставить, чтобы привести систему в желаемое состояние, например, обеспечить достаточную мощность для всех домов. в электросети) и идентифицируемость (как и где нужно что-то измерить, чтобы получить полную картину состояния системы, например, измерение давления в водопроводной сети, чтобы определить, есть ли утечка в трубе).

Графики показателей [ править ]

Метрический граф, вложенный в плоскость с тремя открытыми ребрами. Пунктирная линия обозначает метрическое расстояние между двумя точками и .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Метрический граф представляет собой график , состоящий из множества вершин и множества ребер , где каждое ребро было связано с интервалом таким образом , что координата на интервале, вершина соответствует и к или наоборот. Выбор вершины, лежащей в нуле, произвольный, альтернатива соответствует смене координаты на ребре. Граф имеет естественную метрику: для двух точек на графике это кратчайшее расстояние между ними, при этом расстояние измеряется по краям графа.${\ displaystyle V}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle e = (v_ {1}, v_ {2}) \ in E}$${\ displaystyle [0, L_ {e}]}$${\ displaystyle x_ {e}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle x_ {e} = 0}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle x_ {e} = L_ {e}}$${\ displaystyle x, y}$${\ Displaystyle \ rho (х, у)}$

Открытые графы: в комбинаторной модели графа ребра всегда соединяют пары вершин, однако в квантовом графе можно также рассматривать полубесконечные ребра. Это ребра, связанные с интервалом, прикрепленным к одной вершине в . Граф с одним или несколькими такими открытыми ребрами называется открытым графом.${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle x_ {e} = 0}$

Квантовые графики [ править ]

Квантовые графы - это метрические графы, снабженные дифференциальным (или псевдодифференциальным) оператором, действующим на функции на графе. Функция на метрическом графе определяется как -набор функций на интервалах. В гильбертовом пространстве графа скалярное произведение двух функций равно${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | E |}$${\ displaystyle f_ {e} (x_ {e})}$${\ displaystyle \ bigoplus _ {е \ in E} L ^ {2} ([0, L_ {e}])}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}f_{e}^{*}(x_{e})g_{e}(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$может быть бесконечным в случае открытого ребра. Простейшим примером оператора на метрическом графе является оператор Лапласа . Оператор на ребре - это где координата на ребре. Чтобы оператор стал самосопряженным, необходимо указать подходящий домен. Обычно это достигается путем взятия пространства Соболева функций на ребрах графа и задания условий согласования в вершинах.${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

Тривиальный пример условий согласования , которые делают самосопряженный оператор являются граничными условиями Дирихля , для каждого ребра. Собственную функцию на конечном ребре можно записать как${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

для целого числа . Если граф замкнут и не имеет бесконечных ребер и длины ребер графа рационально независимы, тогда собственная функция поддерживается на единственном ребре графа, а собственные значения поддерживаются . Условия Дирихле не допускают взаимодействия между интервалами, поэтому спектр такой же, как и у набора несвязанных ребер.${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$

Более интересными условиями самосопряженного согласования, допускающими взаимодействие между ребрами, являются условия Неймана или естественные условия согласования. Функция в области определения оператора непрерывна всюду на графике, а сумма исходящих производных в вершине равна нулю,${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\ ,}$

где, если вершина находится в точке, а если находится в точке .${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x=L_{e}}$

Изучены также свойства других операторов на метрических графах.

• К ним относятся более общий класс операторов Шредингера,

${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})\ ,}$

где - «магнитный векторный потенциал» на краю, а - скалярный потенциал.${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle V_{e}}$

• Другой пример - оператор Дирака на графе, который представляет собой матричнозначный оператор, действующий на вектор-функции, которые описывают квантовую механику частиц с внутренним угловым моментом, равными половине, таких как электрон .
• Оператор Дирихле-Неймана на графе - это псевдодифференциальный оператор, возникающий при изучении фотонных кристаллов .

Теоремы [ править ]

Все условия самосопряженного согласования оператора Лапласа на графе можно классифицировать по схеме Кострыкина и Шредера. На практике часто удобнее использовать формализм, введенный Кучментом, см. ^[3], который автоматически дает оператор в вариационной форме.

Позвольте быть вершиной с рёбрами, выходящими из неё. Для простоты мы выбираем координаты на ребрах так, чтобы для каждого ребра, пересекающегося в точке , лежало в . Для функции на графике пусть${\displaystyle v}$${\displaystyle d}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{e}=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}.}$

Условия согласования в могут быть заданы парой матриц и линейным уравнением,${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

Условия согласования определяют самосопряженный оператор, если он имеет максимальный ранг и${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.}$

Спектр оператора Лапласа на конечном графе может быть удобно описан с использованием подхода матрицы рассеяния, введенного Коттосом и Смиланским. ^{[4] [5]} Проблема собственных значений на ребре:

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

Таким образом, решение на краю можно записать как линейную комбинацию плоских волн .

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}.\,}$

где в нестационарном уравнении Шредингера - коэффициент исходящей плоской волны при и коэффициент приходящей плоской волны при . Условия согласования при определяют матрицу рассеяния${\displaystyle c}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

Матрица рассеяния связывает векторы входящих и исходящих коэффициентов плоских волн при , . Для самосопряженных условия согласования унитарны. Элемент из является сложной амплитудой перехода от направленного края до края , который в общем случае зависит от . Однако для большого класса условий согласования S-матрица не зависит от . Например, с условиями согласования Неймана${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (uv)}$${\displaystyle (vw)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$

Подстановка в уравнение для дает независимые амплитуды переходов${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

где - дельта-функция Кронекера, которая равна единице, если и нулю в противном случае. По амплитудам переходов можно определить матрицу${\displaystyle \delta _{uw}}$${\displaystyle u=w}$${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

${\displaystyle U}$называется матрицей рассеяния связи и может рассматриваться как оператор квантовой эволюции на графике. Он унитарен и действует на вектор коэффициентов плоской волны для графика, где - коэффициент плоской волны, распространяющейся от до . Фаза - это фаза, приобретаемая плоской волной при распространении от вершины к вершине .${\displaystyle 2|E|}$${\displaystyle c_{(uv)}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Условие квантования: собственная функция на графике может быть определена через связанные с ней коэффициенты плоской волны. Поскольку собственная функция является стационарной при квантовой эволюции, условие квантования графа может быть записано с использованием оператора эволюции.${\displaystyle 2|E|}$

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

Собственные значения возникают при значениях, в которых матрица имеет собственное значение. Будем заказывать спектр с помощью .${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U(k)}$${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$

Первая формула следа для графа была получена Ротом (1983). В 1997 году Коттос и Смилански использовали приведенное выше условие квантования, чтобы получить следующую формулу следа для оператора Лапласа на графике, когда амплитуды переходов не зависят от . Формула следа связывает спектр с периодическими орбитами на графике.${\displaystyle k}$

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$называется плотностью состояний. Правая часть формулы следа состоит из двух членов: член Вейля представляет собой среднее разделение собственных значений, а осциллирующая часть представляет собой сумму по всем периодическим орбитам на графике. - длина орбиты и - общая длина графа. Для орбиты, созданной повторением более короткой примитивной орбиты, подсчитывается количество переделов. - произведение амплитуд переходов в вершинах графа вокруг орбиты.${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$${\displaystyle r_{p}}$${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$

Приложения [ править ]

Молекула нафталина

Квантовые графы были впервые использованы в 1930-х годах для моделирования спектра свободных электронов в органических молекулах, таких как нафталин , см. Рисунок. В первом приближении атомы считаются вершинами, а σ-электроны образуют связи, которые фиксируют каркас в форме молекулы, на котором удерживаются свободные электроны.

Аналогичная проблема возникает при рассмотрении квантовых волноводов. Это мезоскопические системы - системы, построенные с шириной в нанометрах. Квантовый волновод можно рассматривать как расширенный граф, края которого представляют собой тонкие трубки. Спектр оператора Лапласа в этой области сходится к спектру оператора Лапласа на графе при определенных условиях. Понимание мезоскопических систем играет важную роль в области нанотехнологий .

В 1997 году ^[6] Коттос и Смилански предложили квантовые графы в качестве модели для изучения квантового хаоса , квантовой механики систем, которые являются классически хаотическими. Классическая движения на графике можно определить как вероятностного цепь Маркова , где вероятность рассеяния от края до края задается абсолютное значение амплитуды квантового перехода в квадрат, . Почти для всех конечных связных квантовых графов вероятностная динамика является эргодической и перемешивающей, другими словами, хаотической.${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$

Квантовые графы в двух или трех измерениях появляются при изучении фотонных кристаллов ^[7] . В двух измерениях простая модель фотонного кристалла состоит из многоугольных ячеек из плотного диэлектрика с узкими границами раздела между ячейками, заполненными воздухом. Изучение диэлектрических мод, которые остаются в основном в диэлектрике, приводит к появлению псевдодифференциального оператора на графике, который следует за узкими границами раздела.

Периодические квантовые графы, такие как решетка в, являются общими моделями периодических систем, и квантовые графы были применены для изучения феномена локализации Андерсона, когда локализованные состояния возникают на краю спектральных полос в присутствии беспорядка.${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$

См. Также [ править ]

• Симметрия событий
• Лестница Шильда , роман о вымышленной квантовой теории графов
• Диаграмма Фейнмана

Ссылки [ править ]