Квазитреугольная алгебра Хопфа

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Квазитреугольная алгебра Хопфа»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , A алгебра Хопфа , Н , является квазитреугольной ^[1] , если существует в обратимый элемент, R , из таких , что${\ displaystyle H \ otimes H}$

• ${\ Displaystyle R \ \ Delta (x) R ^ {- 1} = (T \ circ \ Delta) (x)}$для всех , где находится копроизведение на H и линейное отображение задается ,${\ displaystyle x \ in H}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle T: H \ otimes H \ to H \ otimes H}$${\ Displaystyle Т (х \ время у) = у \ время х}$

• ${\ displaystyle (\ Delta \ otimes 1) (R) = R_ {13} \ R_ {23}}$,

• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}}$,

где , , и , где , и , являются алгебра морфизмов определяется${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$${\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

R называется R-матрицей.

Как следствие свойств quasitriangularity, в R-матрицы, R , является решением уравнения Янга-Бакстера (и поэтому модуль V из H может быть использован для определения квази-инварианты косы , узлов и звеньев ). Кроме того, как следствие свойств quasitriangularity, ; Более того , и . Далее можно показать, что антипод S должен быть линейным изоморфизмом, и, таким образом, S ² является автоморфизмом. Фактически, S ² задается сопряжением обратимым элементом: где${\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}$${\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}$${\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}$${\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}$${\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$${\displaystyle u:=m(S\otimes 1)R^{21}}$(ср. Ленточные алгебры Хопфа ).

Можно построить квазитреугольную алгебру Хопфа из алгебры Хопфа и двойственной к ней, используя конструкцию квантового двойника Дринфельда .

Если алгебра Хопфа H квазитреугольная, то категория модулей над H оплетена косой

${\displaystyle c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)}$.

Скручивание [ править ]

Свойство быть квазитреугольной алгеброй Хопфа сохраняется путем скручивания через обратимый элемент, такой что и удовлетворяющий условию коцикла${\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}$${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$

${\displaystyle (F\otimes 1)\circ (\Delta \otimes id)F=(1\otimes F)\circ (id\otimes \Delta )F}$

Кроме того, обратим, и скрученный антипод задается с помощью скрученного коумножения R-матрицей и изменением коединицы в соответствии с теми, которые определены для квазитреугольной квазихопфа алгебры . Такой поворот известен как допустимый (или по Дринфельду) поворот.${\displaystyle u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$${\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$

См. Также [ править ]

• Квазитреугольная квазихопфа алгебра
• Ленточная алгебра Хопфа

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах . Серия региональных конференций по математике. 82 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029 .
• Монтгомери, Сьюзен ; Шнайдер, Ханс-Юрген (2002). Новые направления в алгебрах Хопфа . Публикации НИИ математических наук. 43 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-81512-3. Zbl  0990.00022 .