Проблема Раби касается реакции атома на приложенное гармоническое электрическое поле с приложенной частотой, очень близкой к собственной частоте атома . Он представляет собой простой и в целом решаемый пример взаимодействия легкого атома и назван в честь Исидора Исаака Раби .
Классическая проблема Раби
В классическом подходе проблема Раби может быть представлена решением управляемого затухающего гармонического осциллятора с электрической частью силы Лоренца в качестве движущего члена:
- ,
где предполагалось, что атом можно рассматривать как заряженную частицу (с зарядом е ), колеблющуюся около своего положения равновесия вокруг нейтрального атома. Здесь x a - его мгновенная величина колебаний, его собственная частота колебаний, и его естественный срок службы :
- ,
который был рассчитан на основе потерь энергии дипольного осциллятора из-за электромагнитного излучения.
Чтобы применить это к проблеме Раби, предполагается, что электрическое поле E является колебательным во времени и постоянным в пространстве:
и x a разлагается на часть u a, которая синфазна с управляющим полем E (соответствующая дисперсии), и часть v a, которая находится не в фазе (соответствует поглощению):
Здесь предполагается , что x 0 постоянный, но u a и v a могут изменяться во времени. Однако, если предположить, что мы очень близки к резонансу (), то эти значения будут медленно меняться во времени, и мы можем сделать предположение, что , а также , .
С этими предположениями, уравнения силы Лоренца для синфазной и противофазной частей могут быть переписаны как,
где мы заменили естественную жизнь с более общим эффективным временем жизни T (которое может включать в себя другие взаимодействия, такие как столкновения), и опустили нижний индекс a в пользу недавно определенной отстройки , который одинаково хорошо служит для различения атомов с разными резонансными частотами. Наконец, постоянная было определено:
Эти уравнения можно решить следующим образом:
После того, как все переходные процессы прекратятся, стационарное решение принимает простую форму:
где «cc» обозначает комплексное сопряжение противоположного члена.
Двухуровневый атом
Полуклассический подход
Классическая проблема Раби дает некоторые основные результаты и простую для понимания картину проблемы, но для понимания таких явлений, как инверсия , спонтанное излучение и сдвиг Блоха-Зигерта , необходимо полностью квантово-механическое рассмотрение.
Самый простой подход - это приближение двухуровневого атома , в котором рассматриваются только два энергетических уровня рассматриваемого атома. В действительности не существует атома только с двумя уровнями энергии, но переход между, например, двумя сверхтонкими состояниями в атоме можно рассматривать в первом приближении, как если бы существовали только эти два уровня, при условии, что двигатель не слишком далеко от резонанса. .
Удобство двухуровневого атома состоит в том, что любая двухуровневая система развивается по существу так же, как система со спином 1/2 , в соответствии с уравнениями Блоха , которые определяют динамику вектора псевдоспина в электрическом пространстве. поле:
где мы сделали приближение вращающейся волны, выбрасывая члены с высокой угловой скоростью (и, таким образом, незначительно влияя на общую динамику спина в течение длительных периодов времени), и преобразовали в набор координат, вращающихся с частотой.
Здесь есть явная аналогия между этими уравнениями и теми, которые определяли эволюцию синфазной и противофазной составляющих колебаний в классическом случае. Однако теперь есть третий член w, который можно интерпретировать как разность населенностей между возбужденным и основным состоянием (изменяется от -1, чтобы полностью представить в основном состоянии, до +1, полностью в возбужденном состоянии). Имейте в виду, что для классического случая существовал непрерывный энергетический спектр, который мог бы занять атомный осциллятор, в то время как для квантового случая (как мы предполагали) существует только два возможных (собственных) состояния проблемы.
Эти уравнения также можно сформулировать в матричной форме:
Примечательно, что эти уравнения можно записать в виде векторного уравнения прецессии:
где - вектор псевдоспина и действует как эффективный крутящий момент.
Как и прежде, проблема Раби решается в предположении, что электрическое поле E является колебательным с постоянной величиной E 0 :. В этом случае решение можно найти, применив два последовательных поворота к матричному уравнению, приведенному выше, вида
а также
где
Здесь частота известна как обобщенная частота Раби , которая дает скорость прецессии вектора псевдоспина относительно преобразованной оси u ' (заданной первым преобразованием координат выше). Например, если электрическое поле (или лазер ) точно резонансное (такое, что), то вектор псевдоспина будет прецессировать вокруг оси u со скоростью. Если этот (резонансный) импульс направлен на совокупность атомов, изначально все в их основном состоянии ( w = -1 ) в течение некоторого времени, то после импульса все атомы будут теперь в возбужденном состоянии ( w = 1 ) из-за(или 180 градусов) вращение вокруг оси u . Это известно как-импульс, и имеет результат полной инверсии.
Общий результат дает
Выражение для инверсии w можно значительно упростить, если предположить, что атом изначально находится в основном состоянии ( w 0 = -1 ) с u 0 = v 0 = 0 , и в этом случае
Задача Раби в теории нестационарных возмущений
В квантовом подходе периодическая движущая сила может рассматриваться как периодическое возмущение и, следовательно, может быть решена с помощью теории возмущений, зависящих от времени.
где - не зависящий от времени гамильтониан, который дает исходные собственные состояния, и - возмущение, зависящее от времени. Предположим во время, мы можем развернуть состояние в следующем виде
где представляет собственные состояния невозмущенных состояний. Для невозмущенной системыявляется константой. А теперь посчитаем при периодическом возмущении . Применяющий оператор по обе стороны от предыдущего уравнения, мы можем получить
а затем умножить по обе стороны от уравнения,
Когда частота возбуждения находится в резонансе между двумя состояниями а также , т.е. , это становится проблемой нормального режима двухуровневой системы, и легко найти, что
где
Вероятность того, что состояние будет в m в момент времени t, равна
Значение зависит от начального состояния системы.
Точное решение системы со спином 1/2 в осциллирующем магнитном поле было найдено Раби (1937). Из их работы ясно, что частота колебаний Раби пропорциональна величине колебательного магнитного поля.
Подход квантовой теории поля
В подходе Блоха поле не квантуется, и ни результирующая когерентность, ни резонанс не объясняются хорошо.
Требуется работа по подходу QFT, в основном по модели Джейнса-Каммингса .
Смотрите также
Рекомендации
- Аллен, L; Эберли, JH (1987). Оптический резонанс и двухуровневые атомы . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-65533-8. OCLC 17233252 .
- Раби, II (1937-04-15). «Квантование пространства в вращающемся магнитном поле». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 51 (8): 652–654. DOI : 10.1103 / Physrev.51.652 . ISSN 0031-899X .