В физике , теории вероятностей , теории графов и т.д. случайная кластерная модель представляет собой случайный граф , который обобщает и объединяет модели Изинга , модели Поттс , и просачивание модели . Он используется для изучения случайных комбинаторных структур, электрических сетей и т. Д. [1] [2] [3] Его также называют моделью RC или иногда представлением FK в честь ее основателей Киса Фортуина и Пита Кастелейна . [4]
Определение [ править ]
Пусть G - граф . Предположим, что ребро открыто с вероятностью p , при этом мы говорим , и в противном случае закрыто . Тогда вероятность данной конфигурации равна
И это дало бы вам модель Эрдеша – Реньи (независимые ребра, мера продукта ). Однако предположим, что вы взвесили их следующим образом. Пусть будет количество открытых кластеров конфигурации (количество связанных компонентов в подграфе всех открытых ребер ). Пусть q - положительное вещественное число. Затем определите новую взвешенную меру как
Здесь Z - статистическая сумма или сумма по всем конфигурациям:
Эта результирующая модель известна как модель случайного кластера или сокращенно RCM .
Отношение к другим моделям [ править ]
Возможны два случая: q ≤ 1 и q ≥ 1. Первый способствует меньшему количеству кластеров, а второй - большему количеству кластеров. Когда q = 1, ребра открываются и закрываются независимо друг от друга, и модель сводится к перколяционным и случайным графам. [2]
Это обобщение полинома Тутте . Предел как q ↓ 0 описывает цепи с линейным сопротивлением . [1]
Это частный случай моделей экспоненциального случайного графа .
История и приложения [ править ]
RC-модели были введены в 1969 году Фортуином и Кастелейном в основном для решения комбинаторных задач. [1] [3] [5] В честь основателей их иногда называют моделями FK . [4] В 1971 году они использовали его для получения неравенства ФКГ . После 1987 г. интерес к модели и ее приложениям в статистической физике возродился. Это стало источником вдохновения для алгоритма Свендсена – Ванга, описывающего временную эволюцию моделей Поттса. [6] Майкл Айзенман и др. использовал его для изучения фазовых границ в одномерных моделях Изинга и Поттса. [7] [3]
См. Также [ править ]
- Полином Тутте
- Модель Изинга
- Случайный график
- Алгоритм Свендсена – Ванга
- FKG неравенство
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Фортуин; Кастелейн (1972). «О модели случайных кластеров: I. Введение и связь с другими моделями». Physica . 57 (4): 536. Bibcode : 1972Phy .... 57..536F . DOI : 10.1016 / 0031-8914 (72) 90045-6 .
- ^ a b Гримметт (2002). «Случайные кластерные модели». arXiv : math / 0205237 .
- ^ а б в Гриммет. Модель случайного кластера . http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/rcm1-1.pdf .CS1 maint: location (link)
- ^ Б Ньюман, Чарльз М. «НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ Изинг СИСТЕМА И RANDOM Кластер ПРЕДСТАВЛЕНИЕ» (PDF) .
- ^ Kasteleyn, PW; Фортуин, CM (1969). «Фазовые переходы в решетчатых системах со случайными локальными свойствами». Приложение к журналу Физического общества Японии, Vol. 26. Труды Международной конференции по статистической механике, состоявшейся 9–14 сентября 1968 г. в Който., С.11 . 26 : 11. Bibcode : 1969PSJJS..26 ... 11K .
- ^ Свендсен, Роберт Х .; Ван, Цзянь-Шэн (1987-01-12). «Неуниверсальная критическая динамика в моделировании Монте-Карло». Письма с физическим обзором . 58 (2): 86–88. Полномочный код : 1987PhRvL..58 ... 86S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.58.86 . PMID 10034599 .
- ^ Aizenman, M .; Chayes, JT; Chayes, L .; Ньюман, С.М. (апрель 1987 г.). «Фазовая граница в разреженных и случайных ферромагнетиках Изинга и Поттса». Журнал физики A: математический и общий . 20 (5): L313 – L318. Bibcode : 1987JPhA ... 20L.313A . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 20/5/010 . ISSN 0305-4470 .
Внешние ссылки [ править ]
- Модель случайной кластеризации - Wolfram MathWorld