Реальное координатное пространство

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Реальное координатное пространство»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Декартово произведение структура R ² на декартовой плоскости из упорядоченных пар ( х ,  у ) . Синие линии обозначают оси координат , горизонтальные зеленые линии - целое число y , вертикальные голубые линии - целое число x , коричнево-оранжевые линии показывают полуцелое число x или y , пурпурный и его оттенок показывают кратные одной десятой (лучше всего видно при увеличении)

В математике , А реальный координатное пространство от размерности п , написанной R ^п ( / ɑːr ɛ н / ар- РУ ) или , является координатным пространством над действительными числами . Это означает, что это набор из n наборов действительных чисел (последовательности из n действительных чисел). С покомпонентным сложением и скалярным умножением это реальное векторное пространство .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Обычно декартовы координаты элементов евклидова пространства образуют реальное координатное пространство. Это объясняет название координатного пространства и тот факт, что геометрические термины часто используются при работе с координатными пространствами. Например, R ² - это самолет .

Координатные пространства широко используются в геометрии и физике , поскольку их элементы позволяют находить точки в евклидовых пространствах и проводить с ними вычисления.

Определение и структуры [ править ]

Для любого натурального числа п , тем множество R ^п состоит из всех п - кортежи из действительных чисел ( R ). Его называют « n- мерным реальным пространством» или «реальным n- пространством».

Таким образом, элемент R ⁿ представляет собой n -набор, и записывается

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

где каждый x _i - действительное число. Так, в многофакторном исчислении , то домен из функции нескольких действительных переменных и кообласть реального значной функции вектора являются подмножества из R ^п для некоторого п .

У реального n -пространства есть еще несколько свойств, а именно:

• С покомпонентным сложением и скалярным умножением это реальное векторное пространство . Каждое n- мерное вещественное векторное пространство изоморфно ему.
• С скалярным произведением (сумма пословного произведения компонентов) это внутреннее пространство продукта . Каждое n- мерное реальное внутреннее пространство продукта изоморфно ему.
• Как и любое внутреннее пространство продукта, это топологическое пространство и топологическое векторное пространство .
• Это евклидово пространство и реальное аффинное пространство , и каждое евклидово или аффинное пространство изоморфно ему.
• Это аналитическое многообразие , и может рассматриваться как прототип всех многообразий , так как, по определению, многообразие, вблизи каждой точки, изоморфно открытому подмножеству в R ^п .
• Это алгебраическое многообразие , и каждое вещественное алгебраическое многообразие является подмножеством R ⁿ .

Эти свойства и структуры R ⁿ делают его фундаментальным почти во всех областях математики и областях их приложений, таких как статистика , теория вероятностей и многие разделы физики .

Область определения функции нескольких переменных [ править ]

Любую функцию f ( x ₁ ,  x ₂ ,…,  x _n ) от n вещественных переменных можно рассматривать как функцию на R ⁿ (то есть с R ^{n в} качестве области определения ). Использование реального n -пространства вместо нескольких переменных, рассматриваемых по отдельности, может упростить обозначения и предложить разумные определения. Рассмотрим, п = 2 , А функция композиции следующего вида:

${\ Displaystyle F (t) = f (g_ {1} (t), g_ {2} (t)),}$

где функции г ₁ и г ₂ являются непрерывными . Если

∀ x ₁  ∈  R  : f ( x ₁ , ·) непрерывно (по x ₂ )

∀ x ₂  ∈  R  : f (·,  x ₂ ) непрерывно (по x ₁ )

тогда F не обязательно непрерывно. Непрерывность является более сильным условием: непрерывность F в естественной R ² топологии ( обсуждается ниже ), также называемое многопараметрические непрерывностями , которая является достаточной для обеспечения непрерывности композиции F .

Векторное пространство [ править ]

Координатное пространство R ⁿ образует n -мерное векторное пространство над полем действительных чисел с добавлением структуры линейности и часто по-прежнему обозначается R ⁿ . Операции с R ⁿ как с векторным пространством обычно определяются следующим образом:

${\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})}$

${\ displaystyle \ alpha \ mathbf {x} = (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ ldots, \ alpha x_ {n}).}$

Нулевой вектор задается

${\ Displaystyle \ mathbf {0} = (0,0, \ ldots, 0)}$

а аддитивный обратный к вектору x равен

${\ displaystyle - \ mathbf {x} = (- x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, -x_ {n}).}$

Эта структура важна, потому что любое n -мерное вещественное векторное пространство изоморфно векторному пространству R ⁿ .

Обозначение матрицы [ править ]

В стандартной матричной записи каждый элемент R ⁿ обычно записывается как вектор-столбец

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}}$

а иногда как вектор-строку :

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Координатное пространство R ⁿ может затем интерпретироваться как пространство всех векторов-столбцов n  × 1 или всех векторов-строк 1 ×  n с обычными матричными операциями сложения и скалярного умножения .

Затем линейные преобразования из R ⁿ в R ^m могут быть записаны как матрицы размера m  ×  n, которые действуют на элементы R ⁿ посредством умножения слева (когда элементы R ⁿ являются векторами-столбцами) и на элементы R ^m посредством умножения справа (когда они являются векторами-строками). Формула умножения слева, особый случай умножения матриц , такова:

${\displaystyle (A{\mathbf {x} })_{k}=\sum \limits _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}}$

Любое линейное преобразование - это непрерывная функция (см. Ниже ). Кроме того, матрица определяет открытое отображение от R ⁿ до R ^m тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен m .

Стандартная основа [ править ]

Координатное пространство R ⁿ имеет стандартную основу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$

Чтобы убедиться, что это базис, заметим, что произвольный вектор в R ⁿ можно однозначно записать в виде

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$

Геометрические свойства и использование [ править ]

Ориентация [ править ]

Тот факт, что действительные числа , в отличие от многих других полей , составляют упорядоченное поле, дает структуру ориентации на R ⁿ . Любой полный ранг линейного отображения R ^п к себе либо заповедной или полностью изменяет ориентацию пространства в зависимости от знака этого определителя его матрицы. Если переставить координаты (или, другими словами, элементы базиса), результирующая ориентация будет зависеть от четности перестановки .

Диффеоморфизмы из R ^н или домены в ней , их силе , чтобы избежать нулевого Якобиана , также отнесены к сохраняющей ориентации и меняющей ориентации. Это имеет важные последствия для теории дифференциальных форм , приложения которой включают электродинамику .

Другое проявление этой структуры состоит в том, что точечное отражение в R ⁿ имеет разные свойства в зависимости от четности n . Для четного n он сохраняет ориентацию, а для нечетного n - наоборот (см. Также неправильное вращение ).

Аффинное пространство [ править ]

R ^n, понимаемый как аффинное пространство, - это то же самое пространство, где R ⁿ как векторное пространство действует посредством переводов . И наоборот, вектор следует понимать как « разницу между двумя точками», обычно изображаемую направленным отрезком линии, соединяющим две точки. Это различие говорит о том, что нет канонического выбора того, гдедолжно быть начало координат в аффинном n -пространстве, потому что оно может быть переведено куда угодно.

Выпуклость [ править ]

В реальном векторном пространстве, таком как R ⁿ , можно определить выпуклый конус , который содержит все неотрицательные линейные комбинации его векторов. Соответствующим понятием в аффинном пространстве является выпуклое множество , которое допускает только выпуклые комбинации (неотрицательные линейные комбинации, сумма которых равна 1).

На языке универсальной алгебры векторное пространство - это алгебра над универсальным векторным пространством R ^∞ конечных последовательностей коэффициентов, соответствующих конечным суммам векторов, а аффинное пространство - это алгебра над универсальной аффинной гиперплоскостью в этом пространстве ( конечных последовательностей, суммирующих до 1), конус - это алгебра над универсальным ортантом (конечных последовательностей неотрицательных чисел), а выпуклое множество - это алгебра над универсальным симплексом (конечных последовательностей неотрицательных чисел, суммирующих до 1). Это геометризует аксиомы в терминах «сумм с (возможными) ограничениями на координаты».

Другая концепция из выпуклого анализа - это выпуклая функция от R ⁿ до действительных чисел, которая определяется через неравенство между ее значением на выпуклой комбинации точек и суммой значений в этих точках с одинаковыми коэффициентами.

Евклидово пространство [ править ]

Скалярное произведение

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$

определяет норму | х | = √ x ⋅ x в векторном пространстве R ⁿ . Если каждый вектор имеет свою евклидову норму , то для любой пары точек расстояние

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$

определен, обеспечивая структуру метрического пространства на R ⁿ в дополнение к его аффинной структуре.

Что касается структуры векторного пространства, то обычно предполагается, что скалярное произведение и евклидово расстояние существуют в R ⁿ без специальных пояснений. Однако, строго говоря , реальное n- пространство и евклидово n -пространство являются разными объектами. Любое евклидово n -пространство имеет систему координат, в которой скалярное произведение и евклидово расстояние имеют форму, показанную выше, называемую декартовой . Но в евклидовом пространстве существует множество декартовых систем координат.

И наоборот, приведенная выше формула для евклидовой метрики определяет стандартную евклидову структуру на R ⁿ , но не единственно возможную. Фактически, любая положительно определенная квадратичная форма q определяет свое собственное «расстояние» √ q ( x - y ) , но оно не сильно отличается от евклидовой в том смысле, что

${\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Такое изменение метрики сохраняет некоторые ее свойства, например, свойство быть полным метрическим пространством . Это также означает, что любое линейное преобразование R ⁿ полного ранга или его аффинное преобразование не увеличивает расстояния больше, чем на некоторый фиксированный C ₂ , и не делает расстояния меньше, чем 1 ∕  C ₁ раз, фиксированное конечное число раз меньше . ^{[ требуется разъяснение ]}

Вышеупомянутая эквивалентность метрических функций остается в силе, если √ q ( x - y ) заменить на M ( x - y ) , где M - любая выпуклая положительная однородная функция степени 1, то есть векторная норма ( полезные примеры см. В расстоянии Минковского ) . Из-за того факта, что любая «естественная» метрика на R ⁿ не особо отличается от евклидовой метрики, R ⁿ не всегда отличается от евклидова n -пространства даже в профессиональных математических работах.

В алгебраической и дифференциальной геометрии [ править ]

Хотя определение многообразия не требует, чтобы его модельное пространство было R ⁿ , этот выбор является наиболее распространенным и почти исключительным в дифференциальной геометрии .

С другой стороны, теоремы вложения Уитни утверждают, что любое вещественное дифференцируемое m -мерное многообразие может быть вложено в R ^{2 m} .

Другие выступления [ править ]

Другие структуры, рассматриваемые на R ^n, включают в себя псевдоевклидово пространство , симплектическую структуру (четное n ) и контактную структуру (нечетное n ). Все эти структуры, хотя и могут быть определены бескоординатным образом, допускают стандартные (и достаточно простые) формы в координатах.

R ⁿ также является вещественным векторным подпространством C n, которое инвариантно к комплексному сопряжению ; см. также комплексирование .

Многогранники в R ⁿ [ править ]

Есть три семейства многогранников, которые имеют простые представления в пространствах R ⁿ для любого n и могут использоваться для визуализации любой аффинной системы координат в реальном n -пространстве. Вершины гиперкуба имеют координаты ( x ₁ ,  x ₂ ,…,  x _n ), где каждый x _k принимает одно из двух значений, обычно 0 или 1. Однако можно выбрать любые два числа вместо 0 и 1 для пример -1 и 1. n -гиперкуб можно рассматривать как декартово произведение nидентичные интервалы (например, единичный интервал [0,1] ) на реальной прямой. Как n- мерное подмножество его можно описать системой из 2 n неравенств :

${\displaystyle \displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}}$(для [0,1] )

${\displaystyle \displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}}$(для [−1,1] )

Каждая вершина поперечного многогранника имеет, в течение некоторых к , то х _к координате равна ± 1 , а все остальные координаты равна 0 (таким образом, что он является к - я стандартного базисного вектора до знака ). Это двойственный многогранник гиперкуба. Как n- мерное подмножество его можно описать одним неравенством, которое использует операцию абсолютного значения :

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,}$

но это также можно выразить с помощью системы из 2 n линейных неравенств.

Третий многогранник с просто перечислимыми координатами - это стандартный симплекс , вершинами которого являются n стандартных базисных векторов и начало координат (0, 0,…, 0) . Как n- мерное подмножество описывается системой n + 1 линейных неравенств:

${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}}$

Замена всех «≤» на «<» дает внутренности этих многогранников.

Топологические свойства [ править ]

Топологическая структура из R ^п (называемой стандартной топологии , евклидовой топологии , или обычной топологии ) может быть получена не только из декартова произведения . Он также идентичен естественной топологии, индуцированной евклидовой метрикой, обсужденной выше : множество открыто в евклидовой топологии тогда и только тогда, когда оно содержит открытый шар вокруг каждой из своих точек. Кроме того, R ⁿ является линейным топологическим пространством (см. Непрерывность линейных отображенийвыше), и существует только одна возможная (нетривиальная) топология, совместимая с ее линейной структурой. Поскольку существует множество открытых линейных отображений из R ⁿ в себя, которые не являются изометриями , может быть много евклидовых структур на R ^n, которые соответствуют одной и той же топологии. На самом деле, это не сильно зависит даже от линейной структуры: существует множество нелинейных диффеоморфизмов (и других гомеоморфизмов) R ⁿ на себя или на его части, такие как открытый евклидов шар или внутренность гиперкуба ).

R ⁿ имеет топологическую размерность n . Важный результат о топологии R ⁿ , далеко не поверхностный, -это инвариантность области по Брауэру . Любое подмножество R ⁿ (с его топологией подпространства ), гомеоморфное другому открытому подмножеству R ⁿ , само открыто. Прямым следствием этого являетсячто R ^м не гомеоморфно к R ^п , если т ≠ п - интуитивно «очевидный» результат, который, тем не менее, трудно доказать.

Несмотря на различие в топологической размерности и вопреки наивному восприятию, можно непрерывно и сюръективно отобразить реальное пространство меньшей размерности ^{[ требуется пояснение ]} на R ⁿ . Возможна непрерывная (хотя и не гладкая) кривая, заполняющая пространство (образ R ¹ ). ^{[ требуется разъяснение ]}

Примеры [ править ]

n ≤ 1 [ редактировать ]

Случаи 0 ≤ n ≤ 1 не предлагают ничего нового: R ¹ - это вещественная строка , тогда как R ⁰ (пространство, содержащее пустой вектор-столбец) - это одноэлемент , понимаемый как нулевое векторное пространство . Однако полезно включить их как тривиальные случаи теорий, описывающих различные n .

n = 2 [ редактировать ]

n = 3 [ редактировать ]

n = 4 [ редактировать ]

R ⁴ можно представить, используя тот факт, что 16 точек ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) , где каждый x _k равен 0 или 1, являются вершинами тессеракта (на рисунке), 4-гиперкуба (см. выше ).

Первое основное использование R ⁴ - это модель пространства-времени : три пространственных координаты плюс одна временная . Обычно это связывают с теорией относительности , хотя со времен Галилея для таких моделей использовались четыре измерения . Выбор теория приводит к различной структуре, хотя: в относительности Галилея т координат привилегированный, но в эйнштейновской теории относительности это не так . Специальная теория относительности установлена ​​в пространстве Минковского . Общая теория относительности использует искривленные пространства, которые можно представить как R ⁴ с искривленной метрикой.для большинства практических целей. Ни одна из этих структур не дает (положительно определенной) метрики на R ⁴ .

Евклидова R ⁴ также привлекает внимание математиков, например, из-за его связи с кватернионами , 4-мерной реальной алгеброй . См. Некоторые сведения о вращениях в 4-мерном евклидовом пространстве .

В дифференциальной геометрии n = 4 - единственный случай, когда R ⁿ допускает нестандартную дифференциальную структуру : см. Экзотический R 4 .

Нормативы на R ^н [ редактировать ]

На векторном пространстве R ⁿ можно определить множество норм . Вот некоторые общие примеры:

• р-норма , определенная для всех , где является положительным целым числом. Случай очень важен, потому что это в точности евклидова норма .${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$
• -норме или максимальная норма , определенная для всех R ^п . Это предел всех р-нормы : .${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle {\textbf {x}}\in }$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

Действительно удивительный и полезный результат состоит в том, что каждая норма, определенная на R ⁿ , эквивалентна . Это означает, что для двух произвольных норм и на R ⁿ вы всегда можете найти положительные действительные числа , такие что${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$

${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|}$для всех .${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм на R ⁿ . С этим результатом вы можете проверить, что последовательность векторов в R ⁿ сходится с тогда и только тогда, когда она сходится с .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$

Вот набросок того, как может выглядеть доказательство этого результата:

Из-за отношения эквивалентности достаточно показать, что каждая норма на R ⁿ эквивалентна евклидовой норме . Пусть - произвольная норма на R ⁿ . Доказательство делится на два этапа:${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

• Мы показываем, что существует такое , что для всех . На этом этапе вы используете тот факт , что каждый может быть представлен в виде линейной комбинации стандартной основы : . Тогда с неравенством Коши – Шварца , где .${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\textbf {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$
• Теперь нам нужно найти такой , чтобы для всех . Допустим, такого нет . Тогда существует для каждого a такое, что . Определите вторую последовательность с помощью . Эта последовательность ограничена, потому что . Итак, по теореме Больцано – Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность с пределом R ⁿ . Теперь покажем, что, но , противоречие. Это потому, что и так . Это подразумевает , так . С другой стороны , потому что . Это никогда не может быть правдой, поэтому предположение было ложным и такое существует .${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|}$${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|}$${\displaystyle ({\tilde {\textbf {x}}}_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$${\displaystyle \|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1}$${\displaystyle ({\tilde {\textbf {x}}}_{k_{j}})_{j\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle {\textbf {a}}\in }$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle {\textbf {a}}={\textbf {0}}}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\to }}\ 0}$${\displaystyle \|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0}$${\displaystyle 0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}}$${\displaystyle {\frac {\|{\textbf {x}}_{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|=0}$${\displaystyle {\textbf {a}}={\textbf {0}}}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\textbf {x}}}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\textbf {x}}}_{k_{j}}\right\|_{2}=1}$${\displaystyle \alpha >0}$

См. Также [ править ]

• Экспоненциальный объект , для теоретического объяснения надстрочной записи
• Реальное проективное пространство

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Мункрес, Джеймс (1999). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.