График повторения

В описательной статистике и теории хаоса рекуррентный график ( RP ) — это график, показывающий для каждого момента времени i время, в которое траектория фазового пространства посещает примерно ту же область фазового пространства, что и в момент времени j . Другими словами, это график

показаны по горизонтальной оси и по вертикальной оси, где - фазовая пространственная траектория.${\ Displaystyle я}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle {\ vec {х}}}$

Естественные процессы могут иметь четко выраженное повторяющееся поведение, например, периодичность (как сезонные циклы или циклы Миланковича ), а также нерегулярную цикличность (как южное колебание Эль-Ниньо ). Более того, повторяемость состояний в том смысле, что состояния снова становятся произвольно близкими через некоторое время расхождения , является фундаментальным свойством детерминированных динамических систем и типична для нелинейных или хаотических систем (см . теорему о возвращении Пуанкаре ). Повторение состояний в природе известно давно и также обсуждалось в ранних работах (например, Анри Пуанкаре , 1890).

Экманн и др. (1987) представили рекуррентные графики, которые позволяют визуализировать периодический характер траектории в фазовом пространстве . Часто фазовое пространство не имеет достаточно низкого измерения (двух или трехмерного), чтобы его можно было изобразить, поскольку многомерные фазовые пространства можно визуализировать только путем проекции в двух- или трехмерные подпространства. Однако создание рекуррентного графика позволяет нам исследовать некоторые аспекты траектории m -мерного фазового пространства через двумерное представление.

Повторение - это время, когда траектория возвращается в место, которое она посетила ранее. График повторяемости изображает набор пар моментов времени, когда траектория находится в одном и том же месте, т. е. множество с . Чтобы построить график, непрерывное время и непрерывное фазовое пространство дискретизируются, принимая, например , положение траектории во времени и считая повторение каждый раз, когда траектория достаточно близко (скажем, в пределах ) к точке, которой она была ранее. ${\ Displaystyle (я, к)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) = {\ vec {x}} (j)}$${\ Displaystyle {\ vec {х}} (я)}$${\ Displaystyle я}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

Типичные примеры повторяющихся графиков (верхний ряд: временные ряды (построенные во времени); нижний ряд: соответствующие повторяющиеся графики). Слева направо: некоррелированные стохастические данные ( белый шум ), гармонические колебания с двумя частотами, хаотические данные ( логистическая карта ) с линейным трендом и данные авторегрессионного процесса .

Рекуррентный график индекса южного колебания .